INFO EX 04/04/09 Stagiaire

INFO SUR LES EXERCICES PROPOSES      par le Stagiaire le 04/04/09         1S1

       Théorème de la médiane:

         Soit A et B deux points disincts et I le milieu du segment [ AB ].

         Pour tout point M , on MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2 .

        Exercice1

        Cet exercice propose une démonstration du théorème de la médiane.

         a. Montrer que  IA² + IB² =  AB² / 2 .

         b. En déduire que MA² + MB²  = 2 MI² + AB² / 2.

             Indication : MA²  = ( vect( MA ) )²

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 Réponse         

      a.    On a :     IA = AB / 2    et       IB = AB / 2  

             car I est le milieu du segment [ AB ].

             Donc          IA² + IB²  =  ( AB / 2 )²  + ( AB / 2 ) ²

              c-à-d         IA² + IB²  = AB² / 4  +  AB² / 4 

               c-à-d         IA² + IB²  = AB² / 2

         Ainsi     Conclusion:  IA² + IB²  = AB² / 2

 

 

        b.   On a :    vect( IB ) = - vect( IA )

                car I est le milieu du segment [ AB ].

 MA² = ( vect( MI ) + vect( IA ) )²  =(  vect( MI ) )² + (vect( IA ) )²   +   2 vct( MI ). vect( IA )  

 MB² = ( vect( MI ) - vect( IA) )²  =  (  vect( MI ) )² + ( vect( IA ) )² -    2  vect( MI ) . vect( IA ) 

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 Donc   par somme   MA² + MB² = 2 MI² + IA² + IB²

     D'où 

  Conclusion : MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2

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     Exercice 2

         Cet exercice est un exercice d'application du théorème de la médiane.

         Soit ABCD un rectangle de centre O et M un point quelconque du plan.

           a. faire une figure.         

 

b.  Montrer que MA² + MC² = MB² + MD² . 

             O est le milieu des diagonales du rectangle ABCD.

                     MA² + MC² = MO² +  AC² / 2   d'après le th. de la médiane.

                     MB² + MD² = MO² +   BD² / 2

               Comme ABCD est un rectangle on a AC = BD

             D'où 

           Conclusion :     MA² + MC² = MB² + MD² . 

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       Exercice 3

              Soit A et B deux points tels que AB = 4 .

         1. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB²  = 26.

         2. Donner, suivant les valeurs de k, l'ensemble des points M tels que MA² + MB² = k.

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         Réponse:    

       1. Soit I le milieu du segment [ AB ].

            MA² + MB²  = 26  s'écrit à l'aide du Th. de la médiane  2 MI² + AB² / 2 = 26.

            Or AB = 4 .

            Ainsi    MA² + MB²  = 26    s'écrit     2 MI² + 4² / 2 = 26  

           c-à- d        2 MI² = 26 - 8

           c-à-d       MI² =  18 / 2 = 9

           c-à-d      MI  = 3

   Conclusion : L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 3.

          2.  Discutons suivan le réel k pour déterminer l'ensemble des points M du plan tels que

                   MA² + MB² = k.

         Soit I le milieu du segment [ AB ].

         MA² + MB²  = k   s'écrit à l'aide du Th. de la médiane  2 MI² + AB² / 2 = k.

           c-à-d           2 MI² = k  - AB² / 2

           c-à-d        2  MI² =   k - 8

          c-à-d         MI²   =  ( k - 8 ) / 2       ( 1 )

                       Trois cas: 

                   •  k < 8     Alors   k - 8 < 0.      ( 1 ) est impossible.

                        L'ensemble cherché est le vide.

                   • k = 8   Alors    k - 8 = 0         ( 1 ) s'écrit  MI² = 0

                                                               c-à-d  MI = 0

                                                              c-à-d   M = I

                      L'ensemble cherché est  { I }

                  • k > 8     Alors  k - 8 > 0           ( 1 ) s'écrit   MI = √ ( ( k - 8 ) / 2 )

                   L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon √ ( ( k - 8 ) / 2 )

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