INFO EX 11/ 04 /09 Stagiaire

INFO EXERCICE DU 11/04/09 Stagiaire maths. 1 S1

Dans un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) on définit le point A( - ; 5 ) et

la droite d d'équation y = - 3 x + 1.

1. Première méthode.

On note H le projeté orthogonal de A sur d.

a. Donner deux équations liant les coordonnées de H.

Calculer alors les coordonnées de H.

b. Déterminer la distance AH.

2. Deuxième méthode.

a. Démontrer que le point B( 1 ; - 2 ) est un point de la droite d.

b. On note vect( u ) le vecteur directeur de d de coordonnées ( 1 ; - 3 ) .

Expliquer pourquoi , dire qu'un point M appartient à d revient à dire

qu'il existe un réel k tel que vect (BM )= k vect( u ).

Puis calculer AM² en fonction de k.

( On traduira d'abord pour cela analytiquement vect (BM )= k vect( u )

en prenant ( x , y ) pour les coordonnées de M. )

c. Trouver le minimum de la fonction f définie sur IR par f(k ) = 10 k² + 48 k + 58 .

d . conclure.

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Réponse:

1. Première méthode.

Le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite d.

Notons H( α , β ) les coordonnées du point H .

◊ Donnons deux équations liant les coordonnées de H.

• H est sur d donc ses coordonnées vérifient l'équation de d.

Ainsi: β = - 3 α + 1 ( 1 )

• Le vecteur vect( AH ) est orthogonal à un vecteur directeur de d.

Prenons le vecteur vect( u ) de coordonnées ( 1 ; - 3 ) comme vecteur directeur de d.

On a : vect( AH ) . vect( u) = 0

c-à-d ( α - ( - 2 ) ) 1 + ( β - 5 ) ( - 3 ) = 0

c-à-d α + 2 - 3 β + 15 = 0

c-à-d α - 3 β + 17 = 0 ( 2 )

◊ Trouvons les coordonnées de H.

Résolvons par substitution le système : β = - 3 α + 1 ( 1 )

α - 3 β + 17 = 0 ( 2 )

c-à-d β = - 3 α + 1 ( 1 )

α - 3 ( - 3 α + 1 ) + 17 = 0 ( 2 )

c-à-d

β = - 3 α + 1 ( 1 )

10 α - 3 + 17 = 0 ( 2 )

c-à-d

β = - 3 α + 1 ( 1 )

10 α + 14 = 0 ( 2 )

c-à-d

β = - 3 α + 1 ( 1 )

α = - 14 / 10 = - 7 / 5 ( 2 )

c-à-d

β = - 3 ( - 7 / 5 ) + 1 = 21 / 5 + 1 = 26 / 5

α = - 7 / 5

Conclusion : On a le point H( - 7 / 5 , 26 / 5 )

b. Donnons la distance AH .

On a le point A ( - 2 ; 5 ).

Le vecteur vect( AH ) a pour coordonnées: - 7 / 5 + 2 = 3 / 5

26 / 5 - 5 = 1 / 5

On a : AH = √ ( 3 / 5 )² + ( 1 / 5 )² = √ ( 10 / 25 ) = √ ( 2 / 5 )

Conclusion: AH = √ ( 10 ) / 5

AH ≈ 0, 632

2. Deuxième méthode .

a. Montrons que le point B ( 1 ; - 2 ) est un point de d.

On a : - 2 = - 3 ( 1 ) + 1

Les coordonnées du point B vérifient l'équation y = - 3 x + 1 de d .

Conclusion : B est bien sur d.

b. Soit vect( u ) le vecteur de coordonnées ( 1 ; - 3 ) , vecteur directeur de d.

Montrons que pour tout point M du plan :

M est sur d ssi il existe k dans IR tel que vect( BM ) = k vect( u ).

En effet : On sait que

M est sur d si et seulement si les vecteurs vect( BM ) et vect( u ) sont colinéaires.

c-à-d M est sur d si et seulement si

il existe k dans IR tel que vect( BM ) = k vect( u ).

Conclusion : On a bien l'équivalence.

Calculons AM² en fonction de k.

Les coordonnées du vecteur vect( AM ) sont : x + 2

y - 5

Donc AM² = ( x + 2 )² + ( y - 5 ) ² ( 3 )

Les coordonnées du vecteur vect( BM ) sont : x - 1

y + 2

L'égalité vect( BM ) = k vect( u ) se traduit donc par :

x - 1 = k

y + 2 = - 3 k

c-à-d

x = 1 + k

y = - 3 k - 2

En reportant dans ( 3 ) il vient:

AM² = ( k + 1 + 2 )² + ( - 3 k - 2 - 5 )²

c-à-d

AM² = ( k + 3 )² + ( 3 k + 7 )²

AM² = k² + 9 + 6 k + 9 k² + 49 + 42 k

Conclusion: AM² = 10 k² + 48 k + 58

c. Trouver le minimum de la fonction f définie sur IR par f( k ) = 10 k² + 48 k + 58.

f est une fonction trinome du second degré . a > 0 car 10 > 0

f admet un minimum

pour k = - b / ( 2 a ) = - 48 / 20 = - 12 / 5

Donc

Conclusion: f admet un minimum pour k = - 12 / 5

De plus:

Ce minimum est - Δ / ( 4 a ) = - Δ' / a

Δ' = b' ² - ac

Δ' = 24² - 580 = 576 - 580 = - 4

f( - 12 / 5 ) = - Δ' / a = 4 / 10

f( - 12 /5 ) = 2 / 5

d. Concluons.

Comme AM² = f( k ) , on a AM² qui est minimale pour k = - 12 / 5.

La fonction "racine carrée" étant croissante sur IR⁺, AM est minimale

pour k = - 12 / 5.

AM = √ f ( k )

Pour k = - 12 / 5 on a AM = f( - 12 / 5 )

c-à-d AH =√ ( 2 / 5 )

Conclusion AH = √ ( 2 / 5

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Remarque : On pouvait trouver AM² en fonction de x en considérant M( x , y ) un point variable

sur la droite d: y = - 3x + 1.

Il était alors possible en cherchant la valeur de x qui rend AM² minimale de trouver la

distance AM minimale , c'est-à-dire AH. Le point M est alors un curseur sur la droite d que l'on déplace

de façon à rendre AM le plus petit possible .

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