INFO EXERCICE 2 DS COMMUN 1S 4/4/09
EXERCICE 2
Les trois questions sont indépendantes.
1. Soit la fonction f : x → x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) définie sur IR• .
a. Déterminer les limites de f en - ∞ et en + ∞ .
• Comme lim 1 / x = 0 et lim 1 / x² = 0 on a : lim ( x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) ) = + ∞
x → + ∞ x → + ∞ x → + ∞
Conclusion; lim f( x ) =+ ∞
x → + ∞
• Comme lim 1 / x = 0 et lim 1 / x² = 0 on a : lim ( x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) ) = - ∞
x → - ∞ x → - ∞ x → - ∞ Conclusion; lim f( x ) = - ∞ x → - ∞
b. Justifier les deux affirmations suivantes:
• f( x ) = ( x3 + 3 x - 1 ) / x² pour tout x dans IR• .
Il suffit de faire une réduction au même dénominateur.
• La courbe de f admet l'axe des ordonnées comme
asymptote verticale.
lim ( x3 + 3 x - 1 ) = -1 et lim x² = 0+
x → 0 x → 0
Donc lim ( x3 + 3 x - 1 ) / x² = - ∞
x → 0
Conclusion : lim f( x ) = - ∞
x → 0
2. Soit la fonction f : x → - x² + 2 x - 3 définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .
a. Expliquer pourquoi un passage à la limite, directement, conduit à une forme
indéterminée.
En +∞ on obtiendrait - ∞ + ( + ∞ ) - 3 . ce qui ne veut rien dire
b. Pour tout x non nul, mettre en facteur x² dans l'expression de la fonction f .
En déduire la limite de la fonction f en +∞ .
On a : f(x ) = x² ( -1 + 2 / x - 3 / x² ) pour x non nul.
On a : lim( -1 + 2 / x - 3 / x² ) = - 1 et lim x² = +∞
x → +∞ x → +∞
lim ( x² ( -1 + 2 / x - 3 / x² ) ) = - ∞
x → +∞
Conclusion: lim f( x ) = - ∞
x → +∞
3. Soit la fonction f : x → 1 / ( x² - 4 ) définie sur IR - { - 2 ; 2 }.
Montrer que la courbe de f admet trois asymptotes parallèles aux
axes du repère. On précisera ces asymptotes .
On a besoin du signe de 4 - x²
x → +∞ • On a: lim f( x ) = 1 / 0+ = +∞ x → 2+ lim f( x ) = 1 / 0- = - ∞ x → 2 - • On a: lim f( x ) = 1 / 0- = - ∞ x → - 2+ lim f( x ) = 1 / 0+ = + ∞ x → - 2- Cela permet déjà de conclure. On a bien le résultat.
• On a: lim f( x ) = 1 / +∞ = 0
x
- ∞ -2 2 +∞
4 - x²
+ 0 - 0 +
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