INFO EX 5 DS 9 1S 2 Mai 09

 INFO EX 5 DS n° 9   1 S1          2 Mai 2009

    EXERCICE 5

       Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( j ) ).

      Soient les points A( - 3 ; 2 ) et B( 1 ; - 2 ) .

      Soit I le milieu du segment [ AB ].

      Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 3 ).

    1.a. Trouver la distance AB .

          Le vecteur  vect( AB ) a pour coordonnées :     xB - xA  = 1 - ( - 3 ) = 4

                                                                                     yB - yA  = - 2 - 2 = - 4

        Donc AB = √ ( 4² + ( - 4 )² ) = √ 32  = 4√ 2

      Conclusion:  AB = √ 32      

       b. Trouver les coordonnées du point I.

            I a pour coordonnées :     ( xB + xA ) / 2 = (- 3 + 1 ) / 2 = -1

                                                     ( yB + yA ) / 2  = ( 2 + ( - 2 ) ) / 2 = 0

            Conclusion:   On a  I( - 1 ; 0 )

        c. Trouver une équation de la droite ( AB ).

             Son coefficient directeur est a = ( yB - yA ) / ( xB - xA )

            c-à-d    a = - 4 / 4

            c-à-d    a = - 1

            L'équation de la droite ( AB ) est de la forme y = - x + b .

            Comme A( - 3 ; 2 )  a ses coordonnées qui vérifient cette équation on a:

            2 = - ( - 3 ) + b

            c-à-d              b = - 1

           Conclusion:      ( AB ): y = - x - 1

       d. Placer le point G dans le repère.

          G existe car 1 + 3 = 4 non nul.

          On a :   vect( AG ) =  ( 3 / 4 ) vect( AB )

          Cela permet de placer le point G.

    

     2. Trouver une équation de la médiatrice D du segment [ AB ] .

          ( D est la droite passant par I et orthogonale au segment [ AB ] .)

        Le vecteur vect( AB ) de coordonnées (  4 ; - 4 ) est un vecteur normal à D.

         Une équation de la droite D est de la forme :   4 x - 4 y + c = 0 .

         Elle passe par le point I ( - 1 ; 0 ) , donc les coordonnées de I vérifient l'équation de D.

         D'où       4( - 1 ) - 4 ( 0 ) + c = 0  

        Ainsi :    c = 4

        Donc   l'équation de D est 4 x - 4 y + 4= 0 .

  Conclusion :    On a     D: x - y + 1 = 0

      3. Soit ( C ) l'ensemble des points M( x , y ) du plan tels que 

             x² + y² + 2 x - 7 = 0.

          a. Montrer que  ( C ) est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

             L'équation    x² + y² + 2 x - 7 = 0 s'écrit

                          ( x + 1 )² - 1² + ( y - 0 )² - 7 = 0

            c-à-d      ( x + 1 )² + ( y - 0 )² - 8 = 0     

            c-à-d       ( x + 1 )² + ( y - 0 )²   = 8

            c-à-d       ( x - ( - 1 ) )² + ( y - 0 )²   = ( √8 )²

      Conclusion : ( C ) est le cercle de centre I( - 1 ; 0 ) de rayon 2√2 .

              c-à-d   ( C ) est le cercle de centre I ( - 1 ; 0 ) et de rayon ( 1 / 2 ) AB.

              c-à-d   ( C ) est le cercle de diamètre [ AB ].

              b. Représenter ( C ) et la droite D.

           4. a . Réduire les vecteurs suivants:    vect( MA ) + vect( MB ) 

                    et  vect( MA ) + 3 vect( MB )  .

              •  D'après la propriété fondamentale comme I est l'isobarycentre de A et B ona :

                  vect( MA ) + vect( MB ) = ( 1 + 1 ) vect( MI )

                  c-à-d   vect( MA ) + vect( MB ) = 2 vect( MI )              ( 1 )           

               •  D'après la propriété fondamentale comme G est le barycentre des points pondérés

                    ( A , 1 ) et ( B , 3 ) on a:

                      vect( MA ) + 3 vect( MB ) = ( 1 + 3 ) vect ( MG )

                c-à-d    vect( MA ) + 3 vect( MB ) = 4  vect ( MG )            ( 2 )       

                  b. Soit  ( Γ ) l'ensemble des points M du plan tels que :

                           (  vect( MA ) + vect( MB )  ) . (  vect( MA ) + 3 vect( MB )  ) = 0 .

                         Déterminer ( Γ ) .

                       (  vect( MA ) + vect( MB )  ) . (  vect( MA ) + 3 vect( MB )  ) = 0  s'écrit

                        2 vect( MI ) . 4  vect ( MG ) = 0      à l'aide de ( 1 ) et ( 2 ).

                        c-à-d    vect ( MI ) . vect( MG ) = 0   en divisant par 8 chaque membre.

     Conclusion:   L'ensemble cherché  ( Γ ) est donc le cercle de diamètre [ IG ] .

                   c. Représenter ( Γ ) .

            

              5. Déterminer et représenter l'ensemble( U )  des points M du plan tels que :

                     MA² + MB² = 80 .

                  ( On pourra utiliser le Théorème de la médiane. )

                     On a :    MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2   comme I est le milieu du segment [ AB ].

                    L'égalité  MA² + MB² = 80      notée ( 3 )

                     s'écrit donc  2 MI² + AB² / 2  = 80 .

                      Mais       AB = √32

              Donc     ( 3 ) s'écrit :    2 MI² + 32 / 2 = 80

                     c-à-d          MI²  = ( 80 - 16 ) / 2

                     c-à-d              MI² = 32

                     c-à-d              MI = √32

         Conclusion : L'ensemble cherché ( U ) est le cercle de centre I et de rayon √32 .

         

      6. Soit ( V )  l'ensemble des points M du plan tls que 

                      vect (MA ) . vect (MB ) = 8 

                Déterminer et représenter l'ensemble ( V ).

            On sait que :     vect( MA ) . vect (MB ) = MI² - AB² / 4

            L'égalité  vect (MA ) . vect (MB ) = 8  s'écrit donc

                                    MI² - AB² / 4 = 8

            c-à-d                MI² = 8 +  32 / 4

            c-à-d                 MI² = 16

          c-à-d                   MI = 4

   Conclusion: L'ensemble ( V ) est le cercle de centre I et de rayon 4 .

                    

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