LISTE 2 PROD SCAL 1S AVRIL 09

 LISTE D'EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE     1S   AVRIL 09

   EXERCICE 1

         Soit ABC un triangle tel que :

         AB = 3   AC = 4    BC = 6

         Soit I le milieu du segment [BC].

          1. Faire une figure.

          2. On veut trouver la distance AI.

              a. Exprimer AI² en fonction de cos( B ).

              b. Exprimer AC²  en fonction de cos( B ).

              c. En déduire AI.

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     EXERCICE 2

       Soit la droite D : y = - x + 1 + √3 .

       Soit le cercle C (  A( 1 ; 1 )  ; 2 ).

        Donner les coordonnées des points communs éventuels à la droite D

        et au cercle C .

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     EXERCICE 3

         

    Déterminer l'ensemble des points M( x , y ) tels que :

    ( x - 4)² + ( y + 3 )²  =< 1

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   EXERCICE 4    IMPORTANT

          Le plan est muni d'un repère orthonormal.

          Soit la droite D: a x + b y + c = 0 .

          Soit le point A( α ; β ).

           Nous voulons prouver que la distance de A à D est

           le quotient suivant : | a α + b β + c |   /   √( a² + b² )

          1. a. Que peut-on dire du vecteur vect( n )  de coordonnées ( a ; b )

                   pour la droite D ?

                   Donner sa norme || vect( n ) ||.

             c. Soit H( p ; q ) le projeté orthogonal du point A sur la droite D.

                 Faire une figure.

                 Quelle relation vérifient p et q ?

             2. Pourquoi existe-t-il un réel λ tel que:

                  vect( AH ) = λ vect( n )   ?     ( 1 )

                  Exprimer la norme || vect( A H ) ||  en fonction de la norme || vect( n ) ||.

             3. Exprimer  p et q en fonction λ , a , b   à l'aide de ( 1 ).

             4. Sachant que le point H est sur la droite D: a x + b y + c = 0  trouver λ en fonction de a , b .

             5. En déduire que AH = | a α + b β + c |   /   √( a² + b² )

            Application

                Soit le point B( 1 ; 3 ).

                Soit la droite D :  3 x + y - 1 = 0 .

                Trouver la distance de B à la droite D.

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       EXERCICE 5

   Soit ABCD un carré.

Soit I et J les milieux respectivement des segments [ AB ] et [ BC ].

  a. Calculer  le produit scalaire suivant:

            vect( AJ ) . vect( ID )

  b. En déduire un vecteur normal à la droite ( AJ ).

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   EXERCICE 6

        Le plan est muni d'un repère orthonormal.

        Soit les points A( 2 ; - 2 ) et B( 1 ; 3 ).

        Déterminer une équation de la médiatrice du segment [ AB ] .

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 EXERCICE 7

    Le plan est muni d'un repère orthonormal.

   Soit les points  A ( 2 ; 2 ) et B ( 6 ; - 2 ) .

  Soit ( C ) le cercle de diamètre [ AB ].

  Déterminer une équation de la ( T ) tangente à ( C )  en B.

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