PROD . SCALAIRE 1 S Mars 09

 PRODUIT SCALAIRE                          1S               Mars 2009 

                            Le programme actuel rend assez claire l'introduction du produit scalaire.

                            Des exercices de base peuvent rapidement être  faits.

                            Les ouvrages  sont souvent  simples à lire.

        1.  ACTIVITE.          Vous avez déjà utilisé la notion de travail en physique.

                       Trouver le travail de A à B de la force d'intensité  10 Newtons appliquée en A

                                    sachant que   (  vect( AB ), vect( AF ) ) =  π / 3   [ 2 π ]

                                    et  AB = 4 m.

                         

                 Réponse : 

                       On a :           W = AB × AF cos ( vect( AB ) , vect( AF ) )

                        c-à-d            W =   4 × 10 cos ( π / 3 ) =  40 ×  ( 1 / 2 ) = 20

                    Conclusion :   Le travail de la force est :             W = 20 joules.

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        2. DEFINITION.  ( PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS ).

                                       Soit vect( u )  et vect ( v ) deux vecteurs .

                •CAS:       vect( u )  et   vect ( v ) sont  NON NULS.

                  Le produit scalaire du vecteur  vect( u )  par  le  vect ( v )  est le réel

                   vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × cos (  vect( u )  , vect ( v ) )

                  Ainsi  quand     vect( u ) = vect AB)  et  vect ( v ) = vect( AC )  avec A ≠ B   et A ≠ C

                 on a       vect AB) . vect( AC ) = AB  × AC  × cos( BÂC ).

                   Figure:                   

                         • CAS:   vect( u )  ou  vect ( v ) est  le VECTEUR NUL .

                          Alors le produit sacalaire du vecteur  vect( u )  par  le  vect ( v )  est le réel 0.

                                          c-à-d             vect( u ) . vect ( v ) = 0

               3. PROPRIETE  conséquente .

   •  Si vect( u )  et vect ( v ) sont deux vecteurs colinéaires de même sens alors  :

                                     vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                                     vect( AB) . vect( AC )  =  AB   ×AC         

                   •  Si vect( u )  et vect ( v ) sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraires alors :

                          vect( u ) . vect ( v ) =  -  ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                        vect( AB) . vect( AC )  = - AB   ×  AC                    

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                   Explication:

                     •   Si l'un des vecteurs vect( u )  ou  vect ( v )  est le vecteur nul alors 

                          vect( u ) . vect ( v ) = 0      et  || vect( u ) ||  = 0 ou || vect ( v )|| = 0.

                         Donc    vect( u ) . vect ( v ) = ±  ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                     • Soit les vecteurs vect( u )  et vect ( v ) sont non nuls et colinéaires .

                     • •   S' ils sont de même sens alors  ( vect( u ) ,  vect( v ) = 0 [ 2 π ].

                           D'où cos  ( vect( u ) ,  vect( v )  = cos 0 = 1

                           Donc  vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × 1 = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||

                      • •  S' ils sont de sens contraires alors  ( vect( u ) ,  vect( v ))  = π [ 2 π ].

                           Alors    cos  ( vect( u ) ,  vect( v )  = cos π = - 1 

                           Donc  vect( u ) . vect ( v ) = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × ( - 1 )  = -  ||  vect( u ) || × || vect ( v ) ||    

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               4. DEFINITION  . (    ORTHOGONALITE DE DEUX VECTEURS. )

                               Deux vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement :

                              •  vect( u )  ou  vect( v ) est le vecteur nul .

                             •   vect( u )  et   vect( v ) ne sont pas nuls et   ( vect ( u ) , vect( v ) ) = π / 2   [  π ].

               5. PROPRIETE .

                Deux vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement   vect( u ) . vect ( v ) = 0

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                 Explication.

                  •  Soit vect( u )  ou vect( v )  égal au vecteur nul.

                      Alors :   Les vecteurs sont orthogonaux .

                                   vect( u ) . vect ( v ) = 0

                • Les deux vecteurs  vect( u )  et vect ( v )  sont non nuls.

                    Donc    ||  vect( u ) ||  ≠  0  et   || vect ( v ) || ≠  0 

                    Ainsi :       Les vecteurs sont orthogonaux  se traduit par  ( vect ( u ) , vect( v ) ) = π / 2   [  π ].

                                               c-à-d              cos ( vect ( u ) , vect( v ) ) = 0

                                              c-a-d               ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × cos ( vect ( u ) , vect( v ) ) = 0

                                            c-à-d             vect( u ) . vect ( v ) = 0.

                       On a bien l'équivalence.

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               6. PROPRIETE.  ( FORME ANALYTIQUE DU PRODUIT SCALAIRE )

                 Soit un repère orthonormal  direct ( O  ;  vect ( i ) , vect( j ) ).

                   Soit les vecteurs  vect ( u )   et vect( v )  de coordonnées ( x , y )  et ( x ' ,  y ' ) respectivement.

                   Alors:              vect( u ) . vect( v ) = x x ' + y y '  .

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                 Explication.

                         Soit les point M( x , y ) et N ( x ' , y ' ) .

                        Considérons l"axe polaire ( O ; vect( i ) ).

                         Les cordonnées polaire de M son [ r , θ ] .  ( Ce auusi celle du vecteur  vect( u )  )

                        Les cordonnées polaire de N' son [ r , θ ' ]   .( Ce aussi celle du vecteur  vect( v )  )

                         Donc    ( vect u ) , vect ( v ) ) = θ'  -   θ     [ 2 π ]   

 

                           On sait que  x = r cos θ   et  y = r sin θ

                            De même  x '  = r'  cos θ'    et    y  ' = r'  sin θ '

                                        x x' + y y ' =  r cos θ   r'  cos θ'    +  r sin θ r'  sin θ '

                      c- à-d                x x' + y y ' =  r r ' ( cos θ    cos θ'    +  sin θ  sin θ '  )

                     c- à-d                 x x' + y y ' =  r r '   cos ( θ' -   θ  ) 

                                             x x' + y y ' = ||  vect( u ) || × || vect ( v ) || × cos ( vect ( u ) , vect( v ) )

                      On a bien le résultat.

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            7.  PROPRIETE.   (CARACTERE SYMETRIQUE ET BILILEAIRE )

                 Soit les vecteurs   vect( u )  ,  vect( v ) , vect( w ) et le réel k.

                  On a  :    vect( u ) . vect( v ) = vect( v ) . vect( u )

                            (  k vect( u ))  . vect( v ) =  k (  vect( u ) . vect( v ) )

                             vect( u ) .(  vect( v ) + vect( w ) ) = vect( u ) . vect( v ) + vect( u ) . vect( w )

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                   Explication.

                     Il suffit de raisonner avec la forme analytique du produit scalaire .

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           8. CARRE SCALAIRE D'UN VECTEUR.

                Soit un vect( u ) .

                vect( u ) . vect( u ) = || vect( u ) ||²      noté  ( vect( u ) )²

                Si A et B sont deux points tels que vect( AB ) = vect( u )

                 alors    AB = √(  vect( AB ) .vect( AB ) )

             9. PROPRIETE.                      .

                           Soit les vecteurs   vect( u )  ,  vect( v ) .

                    On a :     

       ( vect( u ) + vect( v ) )² =  ( vect( u ) )² + 2   vect( u ). vect( v ) + ( vect(v ) )² = 

       ( vect( u ) + vect( v ) )² =  ||vect( u ) ||² + 2   vect( u ). vect( v ) +  || vect(v ) ||²

       ( vect( u ) - vect( v ) )² =  ( vect( u ) )² - 2   vect( u ) . vect( v ) + ( vect(v ) )²

 

         ( vect( u ) - vect( v ) )² =   ||vect( u ) ||² - 2   vect( u ) . vect( v ) +  || vect(v ) ||²

                       (vect( u ) + vect( v ) ) .  ( vect( u ) - vect( v ) )     =      ||vect( u ) ||²  -   || vect(v ) ||²

                        vect( u ) . vect( v ) = ( 1 / 2 ) (  || vect( u ) + vect( v ) ||² -   ||vect( u ) ||²  -  || vect(v ) ||²  )

                         vect( u ) . vect( v ) = ( 1 / 2 ) (    ||vect( u ) ||²  +  || vect(v ) ||² -  || vect( u ) - vect( v ) ||²    )  

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             Explication.  

                                    Les formules s'obtiennent en cascade. Les égalités se trouvent en développant

                                    comme pour des égalités remarquables.    

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           10. PROPRIETE . ( UTILISATION DU PROJETE ORTHOGONAL ) 

                Soit A , B , C    trois points du plan avec A ≠ B.

               Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite ( A B ).

               vect( AB ) . vect( AC ) = vect( AB ) . vect( A H )

               On dit que le vecteur vect( AH ) est le projeté orthogonal du vecteur vect( AC )  sur le vecteur  vect (AB ).

                                Figure 1                                                                                                Figure 2

              

            vect( AB ) . vect( AC ) = - AB  × AH                                                   vect( AB ) . vect( AC ) = AB  × AH  

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                 Explication:     Il suffit d'utiliser Chasles et le produit scalaire.

                vect( AB ) . vect( AC ) =  vect( AB ) .  ( vect( AH  ) + vect( H C ) )

      c-à-d   vect( AB ) . vect( AC ) =  vect( AB ) .  vect( AH  ) +  vect( AB ) . vect( H C ) )

          Or  vect( AB ) . vect( H C ) ) = 0   sachant que les vecteurs  vect( AB )   et   vect( H C ) ) sont orthogonaux.

         Donc  vect( AB ) . vect( AC ) =  vect( AB ) .  vect( AH  ) .

                           Dans la figure ( 2 ) on remarquera que : vect( AB ) . vect( AC ) = AB  × AH 

                           Dans la figure ( 1 ) on remarquera que : vect( AB ) . vect( AC ) = - AB  × AH 

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        11. PROPRIETE

               Soit vect( u ) et vect ( v ) deux vecteurs avec le vect ( u ) non nul.

                  Soit vect( v ' ) le vecteur projeté orthogonal de vect( v ) sur le vecteur vect ( u ).

                           Alors  vect( u ) . vect( v ) = vect( u ) . vect( v ' )

                           De plus si le vecteur vect( u ) est unitaire on a :

                            vect( v ' ) = ( vect( u ) . vect( v ) ) vect( u )

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             Explication. 

                                      Les vecteurs  vect( u ) et vect( v '  ) sont colinéaires.

              Il existe un unique réel  λ tel  que   vect( v ' ) = λ vect( u ).                      noté ( 1 )

              Donc :     vect( u ). vect( v ' ) = vect( u ) . λ vect( u ) = λ  ( vect( u )  )² =  λ  × 1 =  λ   noté ( 2 )

              Mais     vect( u ). vect( v )  =   vect( u ). vect( v ' )              noté ( 3 )

                     Donc :    vect( u ). vect( v )  =   λ

       En reportant dans ( 1 ) il vient :         vect( v ' ) = ( vect( u ) . vect( v )) vect( u )  

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