PROJET D'INTEGRATION BTS1 6 SEPTEMBRE 2010 3 heures
Les explications ont déjà été fournies aux étudiants en temps réel lors de la séance en classe.
Cependant voici de nouveau des explications pour ceux qui se posent encore des questions.
PARTIE I
On dispose de f( x ) = ( ln(x ) - ln( x0 ) ) ( ln10 / ln( 10 )) avec x > 0.
1. Pour résoudre l'équation f( x ) = 60 dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [
il faut,
pour x> 0 , remplacer f( x ) par ( ln(x ) - ln( x0 ) ) ( ln10 / ln( 10 )) .
Il faut ensuite isoler dans un membre de l'égalité obtenue ln(x ) - ln( x0 ) en multipliant
les deux membres par l'inverse de ln10 / ln( 10 ).
Après il ne faut pas oublier que: ln(x ) - ln( x0 ) = ln ( x / x0 )
Vous devez alors normalement si vous respectez les règles algébriques
obtenir une égalité de la forme: ln ( x / x0 ) = ln( β )
où β est un réel strictement positif.
Cette égalité se traduit par : x / x0 = β
En multipliant chaque membre par x0 on obtient x.
Cette valeur de x doit être sous la forme x0 multiplié par une puissance de 10.
2. Recherche de f ' ( x ) pour x > 0.
•RAPPEL.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels.
Alors: ( u + b ) ' = u ' Le b disparaît en dérivant car il est ajouté.
( a u ) ' = a u ' Le facteur a demeure en dérivant
car il y a une multiplication par a.
Il est donc très important de voir l'opération.
• Dans l'expression ( ln(x ) - ln( x0 ) ) ( ln10 / ln( 10 ))
le facteur constant ( ln10 / ln( 10 )) est comme un réel noté a.
On a : f( x ) = a ( ln ( x ) - ln( x0 ) )
- ln( x0 ) est aussi une constante que l'on peut noter b .
Ce qui veut dire que l'expression f( x ) est de la forme : f( x ) = a ( ln ( x ) + b )
Ainsi :
f ' ( x ) = a ln '( x ) = a ( 1 / x ) pour x > 0
Le b s'en va par contre le facteur a demeure.
Pour x > 0 il est clair que c'est a qui donne le signe.
3. Le sens de variation de f résulte du signe de f ' .
Il n'y a ici aucune difficulté particulière car le signe de f ' est évident.
4. Tableau de valeurs.
Il faut réaliser un tableau de la forme:
| x | f( x) |
| 10 x0 | ..... |
| 104 x0 | ...... |
| .... | .. |
| 1017 x0 | ... |
Il faut donc calculer: f( 10x0 ) , f( 104 x0 ) , .....etc
Mais seules les deux ou trois premières valeurs seront calculées ,
les autres peuvent se déduire par analogie.
Pour x0 = 10 - 2 on demande de placer quelques points de la courbe de f.
5 . Soit a > 0 et b > 0.
On veut trouver f( b ) - f( a )
Ne pas oublier que :
f( b ) = ( ln(b ) - ln( x0 ) ) ( ln10 / ln( 10 ))
f( a ) = ( ln(a ) - ln( x0 ) ) ( ln10 / ln( 10 ))
Procéder par soustraction membre à membre puis factorisation pour avoir
f ( b ) - f ( a ) = (10 / ln( 10 ) )( ln( b ) - ln ( a ) )
6. Soit a > 0 et b > 0 et b = 2 a.
Il faut remplacer b par 2a dans l'égalité
f ( b ) - f ( a ) = (10 / ln( 10 ) )( ln( b ) - ln ( a ) )
Le membre de droite fait-il apparaître a ? b?
Il suffit de regarder.
7. Soit a > 0 et b > 0 et b = 10 a.
Même démarche.
Il faut remplacer b par 10 a dans l'égalité
f ( b ) - f ( a ) = (10 / ln( 10 ) )( ln( b ) - ln ( a ) )
Regardez le membre de droite obtenu.
Est-ce 10 ? Est-ce 10 f ( a ) ?
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