INFO EX1 EX2 BTS BLANC 5/ 5/09

    INFO BTS BLANC          5 MAI 09                                BTS1 A                                  BTS1 B

                                                                                       

 EXERCICE 1   ALGEBRE DE BOOLE

           Soit l'expression booléenne  E =   .    + b .  + a .  +  .  . c

         1. Donnons son tableau de Karnaugh.               

a \  b c 0 0 0 1  1 1  1 0
0   1          1    1     
1   1         1  1    

   On a :   E =   +

        2.a. Donnons l'expression booléenne de F. 

   • "Avoir 45 ans ou plus  ET être au chômage depuis moins d'un an" est :  a .    

    • " Avoir moins de 45 ans ET ne pas avoir suivi de formation l'année précédente" est :    .     

    • " Etre au chômage depuis un an ou plus   ET ne pas avoir suivi de formation l'année précédente" est :  

               b .      

       • "Avoir moins de 45 ans, être au chômage depuis moins de un an ET

          avoir suivi une formation l'année précédente" est:                  .  . c

    Ainsi :  F =    .    + b .  + a .  +  .  . c

              c-à-d       F = E

            b. D'après le tableau de Karnaugh de E ,  les cases vierges représentent le complémentaire de E

              donc le complémentaire de F  on a   =  b . c  .

               Donc         = b . c

           En français il s'agit de la catégorie ; "Avoir suivi une formation l'an passé 

                                                                ET  être au chômage depuis un an ou plus. "

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          EXERCICE .2

               1. Calcul de  B = A - I.

                 avec               

 /  1   0 0  \
I = |   0   1 0   |
 \  0   0 1  /

et

 /  1   0 1  \
A = |   1   1 1   |
 \  0   0 1  /

 Donc 

 /  1-1   0-0 1-0  \
B= |   1-0   1-1 1-0   |
 \  0-0   0-0 1-1  /

c-à-d

Conclusion:

 /  0   0 1  \
B = |   1   0 1   |
 \  0   0 0  /

Puis on a:

 /  0   0 0  \
B² = |   0   0 1   |
 \  0   0 0  /

Enfin

 /  0   0 0  \
B3 = |   0   0 0   |
 \  0   0 0  /

2. Calcul de Bn  pour n >= 3.

On a :    Bn  =   B3    ×  B n - 3    pour tout entier n tel que n >= 3.

 Conclusion:  Bn   est la matrice nulle quand n est un entier tel que n >= 3

   3. a. Détermination de  An   . 

           Soit n un entier naturel .

             On a  :    A = I + B          car      B = A - I .

            Donc       An   = ( I +  B  )n  

           On peut écrire :     An   = Cn0   In   B0  +  Cn1    In - 1   B1    + .. + Cnn   I0   Bn    .

                                       d'après la formule du binome de Newton.

        c-à-d         An   =   I  +  Cn1     B1    +  Cn2     B2 + Cn3     B3   + .. ....+ Cnn    Bn    .  

                 Comme dans cete somme  Bk   = 0   pour tout entier k tel  que k >= 3

                il vient : 

Conclusion:   An   =   I  +  Cn1     B1    +  Cn2     B2

               b. Montrons que pour tout entier n >= 3 .               

 /  1    0          n                           \
An   =  |   n   1  n+ n ( n - 1 )/2                   |
 \  0   0              1                            /

           On a :     An   =   I  +  Cn1     B1    +  Cn2     B2    

           Donc

          On a :

 /  1 0   0 \  / 0 0 1 \  /  0 0 0   \
An   = |   0 1   0  |   +  n |  1 0 1  | + n( n - 1) / 2 |   0 0 1    |
 \  0 0  1  /  \ 0 0 0 /  \  0 0 0   /

  Donc

 /  1    0          n                           \
An   =  |   n   1  n+ n ( n - 1 )/2                   |
 \  0   0              1                            /

c-à-d    comme   n+ n ( n - 1 )/2 = ( 2 n - n + n² ) / 2 = ( n + n² ) / 2 = n( n + 1 ) / 2

  Conclusion:

 /  1    0          n                      \
An   =  |   n   1  n( n + 1 )/2                |
 \  0   0              1                      /

  4. Application:

       a. Représentons le graphe Gde matrice d'adjacence A.

             Il comporte 6 arcs car il y a 6 fois le 1 dans la matrice A.

             Il comporte trois boucles car il y a trois fois le 1 dans la diagonale principale de A.

      b. Déterminons le nombre de chemins de longueur 5.

           On a : 

 /  1    0          n                           \
An   =  |   n   1  n+ n ( n - 1 )/2                 |
 \  0   0              1                            /
         Pour n = 5 il vient:

 /  1    0          n                           \
A5   =  |   n   1          15                            |
 \  0   0              1                            /

   

Conclusion:  Il y a 15 chemins de longueur 5.

         EXERCICE 3

                 1.  Soit   P( A ) = 0,22    et   P( B )  = 0,05

                    Alors      1 - P( A ) = 0,78

                                 1 - P( B ) = 0,95

                 Donc :

                Conclusion : 

                                     P(  ) = 0,78

                                    P(        ) = 0,95