INFO EX1et 4 BTS BLANC 13/4/10

                       INFO  EX1   et EX 4  BTS    BLANC      DU          13 AVRIL 2010            

               EXERCICE 1.

                Partie A.  

                       1. Faisons un arbre .

                                              0,94 /                  

                                           /

                                /  D      \   

                   0,03   /        0,06 \   A 

                          /   

                          \                             /               

                    0,97  \              0,08  /

                                                   \

                                                0,92 \ A  

                                                                      

           On en déduit les probabilités suivantes:

              P( D ) = 0,03

             PD(  ) = 0,94

             P( A ) = 0,92

       2. a. Déterminons  PD( A ) .

               PD( A ) =   1 -  PD(  )  =  0,06

         Conclusion :       PD( A ) =   0,06

        b.  Donnons P( A ∩ D ) .

          P( A ∩ D ) =   P( D ) ×  PD( A ) = 0,03 × 0,06 = 0,0018

              Conclusion:   P( A ∩ D ) =    0,0018

           D'autre part :

              P( A ∩ ) =   P( )    ×  P( A ) = 0,97   × 0,92 = 0,8924

             Conclusion:    P( A ∩ ) = 0,8924

       3. Déduisons p( A ).

         P( A ) =  P( A ∩ D )  +   P( A ∩ ) =   0,0018 + 0,8924 = 0,8942

            Conclusion:  P( A ) = 0,8942

      4. Calculons PA( D ). 

         PA( D ) =    P( A ∩ D )   / P( A )  =  0,0018 /  0,8942 = 0,002

              Conclusion:     PA( D ) =   0,002

           Partie B.

                  Il est clair que P( E ) = P(  ) = 0,97

                   Conclusion:   P( E ) = 0,97  

        1. a. Donnons la loi de X.

                On répète 10 foisde façon indépendante une épreuve

               de Bernoulli dont les issues sont " sans défaut" et

               " Avec défaut"  avec la probabilité de "sans défaut" 

                égale à p = 0,97.

               X indique le nombre de " sans défaut".

              Conclusion:  X suit une loi binomiale B( 10 ; 0,97 ).

            b. Trouvons P( X = 10 ).

                  On a : P( X = 10 ) = C10 10  0,9710   × 0,030 

                 Ainsi :     P( X = 10 ) =   0,9710    ≈ 0,737

                Conclusion:     P( X = 10 ) ≈    0,74      

           2. Donnons P( X = 9 ) .   

               On a :     P( X = 9 ) =  C10 9  0,979   × 0,031    ≈ 0,228

             Conclusion:    P( X = 9 )  ≈    0,23   

         3. Donnons P( X ≥ 9 ).

            On a :   P( X ≥ 9 ) = P( X = 9 ) + P( = 10 )

          Ainsi d'après les calculs:

                   P( X ≥ 9 ) ≈    0,228  + 0,737 =  0,965

           Conclusion:    P( X  ≥ 9 )  ≈  0,96      

          4.a Donnons le paramètre λ > 0 de la variable

                aléatoire Y.

                Y est de loi de Poisson de paramètre λ .

                Y approche X .

                Donc      λ = E( X )

                Or     E( X ) = 10 × 0,97 = 9,7

                  Conclusion:     λ  = 9,7       

              b. Trouvons P( Y = 9 ).

                  Utilisons la formule puisque la table n'est pas adaptée.

                  P( Y = 9 ) = e- 9,7    × ( 9,79  /  9!  )

                 c-à-d 

                  P( Y = 9 ) ≈  0,123

                 Conclusion:   P( Y = 9 ) ≈  0,13   

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            EXERCICE 4

      Soit la fonction f: x → 216 x - x² - 4000 ln( ( x + 12 ) / 12  )

      1. Calculons f '( x ) avec x dans l'intervalle [ 0 ; 100 ].

            •  Soit la fonction affine  u : x →  ( x + 12 ) / 12 

               u est définie , dérivable et strictement positive

                sur  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

               u ' :   x → 1 / 12

                 Ainsi la fonction ln o u  est définie et dérivable

                   sur  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

               On a :  (ln o u  ) '  = u ' / u

                 Soit x dans  [ 0 ; 100 ].

                     u '( x ) / u ( x )  = ( 1 / 12 ) / (  ( x + 12 ) / 12  )

               c-à-d  

                 en multipliant le numérateur et le dénominateur par 12

                          u '( x ) / u ( x )  =  1 / ( x + 12 )   

               • Soit la fonction v: x  →  216 x - x²

                 v est  définie , dérivable   sur  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                  v ' x  → 216 - 2 x

                • On  a   f = v - 4000 ln o u    sur  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                   Donc la fonction f est définie et dérivable sur

                   l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                  On a:  f ' = v ' - 4000 ×   u ' / u

                 Conclusion:

                  Soit x dans  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                  f '( x ) = 216 - 2 x - 4000 (  1 / ( x + 12 ) )

 

                Montrons que f '( x ) est du signe de P( x )

               pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                   Soit x dans  l'intervalle [ 0 ; 100 ].

                 On a :

                     f ' ( x ) = 216 - 2 x  - 4000/ ( x + 12 )

            c-à-d  

             f '( x ) = [( 216 - 2 x ) (  x + 12 )  - 4000  ]/ ( x + 12 )

             c-à-d

             f '( x ) =[ 216 x + 216 × 12 - 2 x² - 24 x  - 4000 ] / ( x + 12 )

           c-à-d

            f '( x ) =[ 192 x - 1408 - 2 x² ] / ( x + 12 )

             c-à-d

              f '( x ) = P( x ) / ( x + 12 )

          Conclusion :   f '( x ) = P( x ) / ( x + 12 )

                    pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 100 ].

      2.  Montrons que :

                P( x ) = - 2 ( x - 88 ) ( x - 8 )

           En effet:

             - 2 ( x - 88 ) ( x - 8 )= - 2 ( x² - 88 x - 8 x + 88 × 8 )

         c-à-d

              - 2 ( x - 88 ) ( x - 8 )= - 2 ( x² -  96 x  + 704 )

           c-à-d  

              - 2 ( x - 88 ) ( x - 8 )= - 2 x² + 192 - 1408

                c-à-d

               Conclusion :   - 2 ( x - 88 ) ( x - 8 )= P( x)

                Comme x + 12  > 0  pour tout x dans l'intervalle

                [ 0 ; 100 ]    f '( x ) est bien du signe de P( x ).

                   Le signe de P( x ) s'obtient très facilement.

                   Entre 8 et 88 on P( x ) qui est du signe contraire à - 2 

                   c-à-d positif. Ailleurs P( x ) est  négatif.                 

 Tableau de variation de f :   

x 0                      8                            88                           100
P( x )       -                 0         +                  0                -
f(x )    ↓                 f( 8 )       ↑                 f( 88 )              ↓

 

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