INFO EXERCICE DE GEOMETRIE DANS L'ESPACE TS Mai 2013
EXERCICE :
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal on considère les points:
A( 3 ; 1 ; - 5 ) , B( 0 ; 4 ; - 5 ) , C( - 1 ; 2 ; - 5 ) et D( 2 ; 3 ; 4 ).
Pour chacune des affirmations suivantes, ci-dessous, préciser si elle est
vraie ou si elle est fausse. aucune justification n'est demandée.
On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par
réponse incorrecte. L'absence de réponse n'est pas pénalisée.
Un éventuel total négatif est ramené à 0.
1. Les points A , B et D sont alignés.
2. La droite ( AB ) est contenue dans le plan d'équation cartésienne:
x + y = 4
3. Une équation cartésienne du plan ( BCD ) est:
18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0
4. Les points A , B , C et D sont coplanaires.
5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan ( BCD ).
6. Une représentation paramétrique de la droite ( BD ) est:
x = 1 - 2 k
y = 7 / 2 + k
z = - 1 / 2 - 9 k k dans IR
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EXPLICATIONS:
1. NON.
En effet : On a : vect( A,B) de coordonnées ( - 3 ; 3 ; 0 )
vect( A , D ) de coordonnées ( - 1 ; 2 ; 9 )
Ils n'ont pas les coordonnées proportionnnelles:
car - 3 / - 1 = 3 / 2 = 0 / 9 est faux
Donc: les vecteurs vect( A,B) et vect( A , D ) ne sont pas colinéaires.
Conclusion : Les points A , B et D ne sont pas alignés
2. OUI.
En effet :
Les deux point A et B sont dans le plan d'équation x + y = 4
car xA + yA = 4 et xB + yB = 4
c-à-d 3 + 1 = 4 et 0 + 4 = 4
Donc:
Conclusion : Toute la droite ( AB ) est dans le plan d'équation x + y = 4
3. OUI.
En effet :
• Chacun des points B , C, D est dans le plan d'équation
18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0
car les coordonnées de chacun des points B , C, D vérifient l'équation
18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0
c-à-d 18 × 0 - 9 × 4 - 5 × ( - 5 ) + 11 = - 36 + 36 = 0
18 × ( - 1 ) - 9 × 2 - 5 × ( - 5 ) + 11 = - 36 + 36 = 0
18 × 2 - 9 × 3 - 5 × 4 + 11 = 47 - 47 = 0
• Les points B , C , D déterminent un plan car les vecteurs
vect( BC) et vect( BD ) ont des coordonnées ( - 1 ; - 2 ; 0 ) et
( 2 ; - 1 ; 9 ) respectivement non proportionnelles.
- 1 / 2 ≠ 0 / 9
Conclusion : Le plan ( BCD ) est bien d'quation cartésienne
18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0
4. NON.
Les points B , C , D déterminent un plan auquel A n'appartient pas.
car le point A ( 3 ; 1 ; - 5 ) n'a pas ses coordonnées qui
vérifient l'équation 18 x - 9 y - 5 z + 11 = 0 du plan ( BCD ) .
En effet :
On a: 18 × 3 - 9 × 1 - 5 × ( - 5 ) + 11 = 81
Donc: 18 × 3 - 9 × 1 - 5 × ( - 5 ) + 11 ≠ 0
Conclusion : Les points A , B ,c , D ne sont pas coplanaires
5. NON.
La distance du point A au plan ( BCD ) n'est pas 9.
En effet:
d( A( 3 ; 1 ; - 5 ) ; ( BCD ) = | 18 × 3 - 9 × 1 - 5 × ( - 5 ) + 11| / √( 182 + ( - 9 ) 2 + ( - 5 )2 )
c-à-d
d( A ; ( BCD ) = 81 / √ 430
Or 81 / √ 430 ≈ 3,90
Donc d( A ; ( BCD ) < 9
Conclusion: La sphère de centre le point A et de rayon 9
n'est pas tangente au plan ( BCD ) .
( Leur intersection est un cercle. )
6. OUI.
• Par lecture des coefficients devant le réel k
on lit les coordonnées ( - 2 ; 1 ; - 9 ) qui sont celles de l'opposé du
vecteur vect( BD) c-à-d du vecteur vect (DB ).
La direction est donc bien celle de la droite ( BD ).
• Le point B( 0 ; 4 ; - 5 ) est obtenu pour k = 0,5.
En effet 0 = - 1 - 2 k donne k = 1 / 2 = 0, 5
4 = 3,5 + k donne k = 4 - 3,5 = 0 ,5
- 5 = - 0,5 - 9 k donne 9 k = 4, 5 c-à-d k = 0,5
Conclusion : Une représentation paramètrique de la droite ( BD ) est bien :
x = 1 - 2 k
y = 7 / 2 + k
z = - 1 / 2 - 9 k k dans IR
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