INFO EXERCICE :Loi Binom. Loi Exponen.

                       LES LOIS BINOMIALES ET LES LOIS EXPONENTIELLES              TS    juin 2013

          EXERCICE   ( Ex de bac Amérique du Nord ) 

             Les parties A et B sont indépendantes.

             Albert fabrique des appareils électroniques.

             Pour cela il doit acheter des composants dans un magasin.

             On estime que la probabiité qu'un composant vendu soit défectueux est 0,02.

       PARTIE  A:

            On admet que le nombre de composants disponibles dans le magasin est 

            suffisamment important pour que l'achat de 50  composants soit assimilé à 

            50  tirages indépendants  avec remise. Albert achète 50 composants électroniques.   

        1. Quelle est  la probabilité qu'exactement deux composants achetés soient défectueux?

                  On répète 50 fois de façon indépendante l'achat de composants électroniques

                 dont certains sont défectueux, c'est-à-dire on répète 50 fois de façon indépendante

                   50 fois une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont "défectueux" et " non défectueux"

                  avec 0,02 la probabilité de  " défectueux".   X désigne le nombre de composants défe ctueux achetés.

                  Donc:   X suit la loi binomiale B ( 50 ; 0,02 ).

              Donnons la valeur exacte  de  P( X  = 2 ) puis la  valeur approchée à 10 ^{- 1}    près:

               Conclusion :

                      Avec la TI 84:

                            2ND     VARS  

                       Apparaît:    DISTR          DRAW

                      Descendre juqu' à la ligne A  pour avoir :

                       binompdf(             

                      Mettre    50   , 0,02  ,   2   )

                     ENTER

                     Conclusion :  P( X = 2 ) ≈  0, 2

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           2. Qu'elle est la probabiité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux?

              Puis donner une valeur approchée à 10^{- 1}      près de cette probabilité.

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           REPONSE:

          On veut:                P ( X ≥ 1 ).

        Mais :                   P( X ≥  1 )  = 1 - P( X < 1 )  =  1 - P( X = 0 )

            c-à-d    

                    P( X ≥  1  ) =   1 - ,02⁰   ×  0,98⁵⁰          

                  Conclusion :

                      P( X ≥  1 )  = 1 - 0,98⁵⁰    

                Mais :    P( X ≥  1  ) ≈ 0,6358

               Donc   :        P( X ≥  1  ) ≈  0,64    

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            3. Quel est par lot de 50 composants achetés , le nombre moyen de

                composants défectueux ?

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           REPONSE :

                        On veut l'espérance de X

                          E( X ) n ×  p

              Ainsi :   E( X ) = 50 ×  0,02 = 1

                  Conclusion :   E( X ) = 1

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            PARTIE B.

      On suppose que  la durée de vie T₁   , en heures, de chaque composant

      défectueux suit une loi exponentielle de paramètre  λ₁ = 5 × 10 ^{- 4}    

      et que la durée de vie T₂ , en heures, de chaque composant non défectueux

       suit une loi exponentielle  de paramètre  λ₂ =  10 ^{- 4}     .

       1. Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à 1000 heures:

              a. Si le composant est défectueux.

              b. Si le composant n'est pas défectueux.

         On donnera une valeur approchée de ces probabilités  à 10 ^{- 4}     près

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         REPONSE:

        1.a . Comme le composant est défectueux utilisons T₁ .

                On a :

                       P( T₁  ≥ 1000 ) = e ^{- 1000  _× λ₁}      

                avec    λ₁ = 5 × 10 ^{- 4}  

                         Ainsi :         P( T₁  ≥ 1000 ) = e ^{-  0, 5}        

                      D'où :   P( T₁  ≥ 1000 )  ≈ 0,6065

              Conclusion :  

                         P( T₁  ≥ 1000 )  ≈ 0,60   

         b.  Comme le composant est "non défectueux" utilisons T₂ .                   

                     On a :

                       P( T₂  ≥ 1000 ) = e ^{- 1000  _× λ₂}      

                avec    λ₂ =  10 ^{- 4}  

                         Ainsi :         P( T₂  ≥ 1000 ) = e ^{-  0, 1}        

                      D'où :   P( T₂  ≥ 1000 )  ≈ 0,9048                 

                 Conclusion :  

                                        P( T₂  ≥ 1000 )  ≈ 0,90   

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             2. Soit T la durée de vie , en heures, d'un composant acheté au hasard.

                 Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état

                 de marche après t heures de fonctionnement est:     

              (  On rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit

                  défectueux est égale à 0,02. )

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             REPONSE:

           Arbre :

                  On a :

                          ( Ces deux probabilités sont non nulles )

                     et

                      Or :

               Ainsi :

                  Conclusion:

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   3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1000 heures

       après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux?

       Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10^{- 2} près.

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    REPONSE:

            Nous voulons:

             P( T ≥ 1000 ) ≠ 0

            Ainsi d'après le cours:

             Mais :

                 En remplaçant  t par 1000  dans

                  il vient :

              De plus :

              Donc:

               On a :

                    Conclusion :

                            La probabilité que le composant soit défectueux sachant qu'il

                            a déjà fonctionné 1000 heures est 0,01

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