INFO EX 2 BAC JUIN 2012

                                                                INFO EX 2 BAC JUIN 2012

                 EXERCICE 2 ( 5 POINTS )

                                                  Commun à tous les candidats

             Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La 

             procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de

             candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. 

             Les candidats ainsi sélectionnés  passent un premier entretien à l'issue duquel 70 %

             d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le

            directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.            

             1. On choisit au hasard le dossier d'un candidat.

                 On considère les événements suivants:

                   D: " Le candidat est retenu sur dossier",

                   E1 : " Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien",

                   E2 :  " Le candidat est recruté"

                    a. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

                            arbre-ex2-bac-2012.jpg

  

                b. Calculer la probabilité de l'évènement E1  .

                     L'ENONCE POSE PROBLEME:

                    Il y a une ambiguïté entre le E1 de l'arbre et le E1 du  texte.                  

                    Il aurait fallu pour que le texte soit cohérent avec l'arbre mettre R ( ou R1 ) 

                   à la place de E1 dans l'arbre.    

               En mettant R dans  l'arbre à la place de E1   on peut écrire:                 

              La probabilité que "le candidat soit retenu sachant que le premier entretien

                                     a eu lieu" est:            PD( R ) = 70 %

            Par ailleurs:         P(  D ∩ R ) =P( D )× PD( R ) = 40 % × 70 % = 0,28

         Conclusion : Le correcteur sera obligé d'accepter chacune de ces probabilités comme  

          une réponse possible pour P( E1  )  vue l'ambiguïté des notations .

      c. On note F l'événement " Le candidat n'est pas recruté".

          Démontrer que la probabilité de l'événement F est égale à 0,93.

                Si l'on ne change pas pour l'arbre E1 en R  ou R1   on a :

                  arbre2-ex2-bac-2012.jpg

                  Ainsi comme ces trois chemins sont disjoints la probabilité de F est la somme des 

                  probabilité des trois  chemins.

                              P( F ) = 0,60 + 0,4 × 0,30 + 0,4 ×0,70 × 0,75 = 0,93

                 On a bien :

                    Conclusion: P( F ) = 0,93

          2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans une entreprise. 

              Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.

              On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égales 0,07.

              On désigne par X la variable aléatoire donnant  le nombre de personnes recrutées parmi

              ces cinq candidats.

              a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

                    On répète 5 fois de façon  indépendante une épreuve de Bernoulli 

                    dont les deux issues sont " recruté" et " non recruté" avec p = 0,07 la 

                    probabilité de " recruté".

                    Conclusion: X étant la variable aléatoire qui indique le nombre de " recruté",

                     X suit la loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,07 .

                    X est dite de type B( 5 ; 0,07 )

              b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. 

                   On arrondira à 10 - 3 .

                    On a :  

                        p-x-2-ex-bac-2012.jpg

                          c-à-d     P( X = 2 ) ≈ 0,0394

                      Conclusion :    P( X = 2 )  ≈ 0,04 

             3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter

                   pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999?

                           A présent la variable aléatoire X est de type B( n ; 0,0,07 ).

                           On veut trouver le plus petit entier n non nul de façon que :

                                   P( X ≥ 1 ) > 0,999

          c-à-d                 sachant      P( X ≥ 1 )  = 1 - P( X < 1 ) = 1 - P( X = 0 )

                                  1 - P( X = 0 ) > 0,999

           c-à-d 

                                     1 - 0,999 > P( X = 0 )

        c-à-d    

                                         0,001 > P( X = 0 )

      c-à-d 

                                     P( X = 0 ) < 0,001            ( 1 ) 

         Mais  

                              p-x-0-ex-bac-2012.jpg

         c-à-d              P( X = 0 ) = ( 1 - 0,07 )n

          Donc              ( 1 ) s'écrit :  

                                            ( 1 - 0,07 )n   < 0,001 

          c-à-d                            0,93n   < 0,001 

          c-à-d          ln(   0,93 n ) < ln( 0,001 )   comme ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [

         c-à-d            n × ln( 0,93 ) < ln( 0,001 )

          c-à-d           n >  ln( 0,001 )   /   ln( 0,93 )     sachant      ln( 0,93 )  < 0

          Mais           ln( 0,001 )   /   ln( 0,93 )  ≈ 95,18

          Le plus petit entier qui dépasse 95,18  est 96

   Conclusion : L'entier cherché est  n = 96

------------------------------------------------------------------------------------------