INFO EX BAC CALCUL INTEGRAL

                                        INFO EXERCICE BAC CALCUL INTEGRAL             TS      JUIN 2012

                        ex-rev-integrale.jpg

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          REPONSE :

            1. a. Calcul de I1 .

                                                      formule-1ex-bac.gif

                       Vérifions qu'il est possible de procéder à une intégration par parties.

                     Soit les fonctions:

                                      u: x → 1 - x     et          v ' : x  →  e- x 

               •   v ' est définie et continue dans IR

                        car les fonction exp et  x → - x   le sont.

               •   u est définie et dérivable dans IR.

                        u:   x →  - 1  

               •   u ' est définie et continue dans IR

               •      Considérons :

                          v  : x  → - e- x   

                    v est définie et dérivable dans IR car   x → - x   l'est

                  Nous pouvons procéder à une intégration par parties.   

                             Ainsi on a :

                                         figure-3-ex-bac.gif

                              c-à-d 

                          formule-2ex-bac.gif

             b. Etablissons l'encadrement demandé :

                             La fonction fn :  x → ( 1 - x )n  e- x     et     x →  e- x   sont

                                 définies et continues dans IR.

                             De plus                0 ≤   1 - x     ≤  1         pour tout x dans [ 0 ; 1 ]

                             d'où                   0 ≤  ( 1 - x )n    ≤  1        pour tout x dans [ 0 ; 1 ]  et tout n dans IN*

                              Donc        0 ≤  ( 1 - x )n  e- x    ≤  e- x       pour tout x dans [ 0 ; 1 ]

                              On en déduit : 

                                                   figure-4-ex-bac.gif

                 Déduisons la limite demandée.

                                  On a l'encadrement de In   .

                                figure-5-ex-bac.gif

                  c . L'intégration par parties ne pose pas de problème.

                         Soit n dans IN- { 0 }.

                         Soit u :x → (1- x )n+1      v:x →e-x

                         u est définie et dérivable dans [0;1].

                         v' est définie et continue dans [0;1].

                          u' :x →- ( n+1)(1 - x) n 

                          u' est définie et continue dans  [0;1].

                          Considérons :

                           v : x → - e-x

                           v est définie et dérivable dans [0;1].

                           On peut faire une intégration par parties:

          Comme  (n + 1 )! In+1 =  (n + 1 )!(   1 /  (n + 1 )! ) ∫0 1 (1 - x) n+1  e-x dx  =  ∫0 1 (1 - x) n+1  e-x dx

        On a :         (n + 1 )! In+1 = [ (1- x )n+1 e-x ]0 1 - ∫0 1 - ( n+1)(1 - x) n ( - e-x )dx 

              c-à-d  

                         (n + 1 )! In+1 =  e-0 - (n+1) ∫0 1 (1 - x )n e-x dx 

              c-à-d

                          In+1 = (  1/ (n + 1 )! ) - ( (n+1)/ (n + 1 )!)  ∫0 1 (1 - x )n e-x dx 

             c-à-d  

                         In+1 = (  1/(n + 1 )! ) - ( 1 / n !)  ∫0 1 (1 - x )n e-x dx 

              c-à-d

                Conclusion :   In+1 = (  1/(n + 1 )! ) -  In  

     2. a. Montrons par récurrence su IN* que :

                      an  = ( 1 / e ) + ( - 1) n  In    pour tout n dans IN*

                 partie-d-ex.jpg                

 

         b. Déduisons la limite de la suite ( an  ).

                 fin-derniere-ex-bac.jpg

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