SPE TES

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Explications complémentaires:

1. La rotation r est de traduction complexe: z ' - z_A = e^{iπ / 3} ( z - z_A )

avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).

Comme z_A = 1 , e^{iπ / 3} = 0,5 + i 0,5 √3 , r( D ) = E et D( - i )

on a : z_E - 1 = ( 0,5 + i 0,5 √3 ) ( - i - 1 )

c-à-d z_E = ( 0,5 + i 0,5 √3 ) ( - i - 1 ) + 1

c-à -d z_E = - 0,5 - i 0,5 √3 - 0,5 i - i² 0,5 √3 + 1

c-à -d z_E = 0,5 - i 0,5 √3 - i 0,5 + 0,5 √3 sachant i² = - 1

c-à-d en factorisant - i

z_E = 0,5 + 0,5 √3 - i ( 0,5 √3 + 0,5 )

c-à-d en factorisant 0,5 + 0,5 √3

Conclusion : z_E = [ 0,5 + 0,5 √3 ] ( 1 - i )

2. Soit le point M( z ) , l'égalité | z + i | = | z - 1 |

s'écrit : | z - ( - i ) | = | z - 1 |

c-à-d | z - z_D | = | z - z_A | comme z_A = 1 et z_D = - i

ce qui se traduit géométriquement par :

MD = MA

Or l'ensemble { M de P / MD = MA } est la médiatrice du segment [AD]

Donc :

Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice de [AD]

3. ( z + i ) / ( z -1 ) imaginaire pur a deux interprétations possibles

suivant que 0 soit accepté ou refusé.

( En général les énoncés le précisent !....

C'est une maladresse de l'énoncé que de ne pas le dire)

Ici , vues les réponses proposées , 0 est accepté comme imaginaire pur.

On considère donc ( z - ( - i ) ) / ( z - 1 ) dans i IR

c-à-d ( z - z_D ) / ( z - z_C ) dans i IR

c-à-d [ z ≠ z_C et z ≠ z_D et arg( ( z - z_D ) / ( z - z_C ) ) = π / 2 ( π ) ]

ou z = z_D

c-à-d les vecteurs vect( MD ) et vect( MC ) sont non nuls et orthogonaux

ou M = D

c-à-d M est sur le cercle de diamètre [ CD ] privé de C et D

ou M = D

c-à-d

Conclusion : L'ensemble cherché est le cercle de diamètre [CD] privé du point C

4. arg( z - i ) = - π / 2 + 2k π avec k dans les entiers relatifs

est mis pour:

z ≠ z_B et arg ( z - z_B ) = - π / 2 ( 2 π )

c-à-d

M ≠ B et ( vect( u ) , vect( BM) ) = - π / 2 ( 2 π )

c-à-d comme ( vect( u ) , vect( BD) ) = - π / 2 ( 2 π )

M est sur la demi droite [ B D) privée du point B.

Conclusion : L'ensemble cherché est la demi droite [ BD) privée de B

ou encore la demi droite ] BD).

Mais à ce moment là on ne reprécise pas que B est retiré

puisque le crochet est ouvert du côté de B !.......

Ce qui est une maladresse de l'énoncé surtout pour un QCM.

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