INFO EXERCICE SUR LES SUITES MAI 2013
EXERCICE :
Soit L un réel et ( un ) une suite définie sur IN, à termes tous strictement positifs.
On suppose que la suite ( un ) converge vers L.
Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou si elle est fausse.
On donnera un contre exemple dans le cas où l'affirmation est fausse.
On prouvera l'affirmation si elle est vraie.
( On rappelle que n! = 1 × .... × n si n est un entier naturel non nul et 0! = 1 )
1. Affirmation. " L est stictement positif " NON.
Contre exemple:
Soit la suite ( un ) de terme général un = 1 / ( n + 1 )
on a : un > 0 pour tout n dans IN
Or lim un = 0
n → + ∞
Ainsi : L = 0
On n'a pas L > 0
2. Affirmation. " La suite ( ln(un ) ) converge vers ln( L ). NON
Contre exemple:
Reprenons la suite ( un ) précédente. L = 0
ln( un ) = = - ln ( n + 1 )
On a : lim ln( un ) = - ∞
n → + ∞
Or ln ( L ) n'existe pas car ln non définie en 0.
Donc: la suite ( ln( un )) ne converge pas vers ln( L )
3. Affirmation. " Il existe un entier naturel p tel que L soit une valeur approchée de up à 10 - 3 " OUI
On sait par hypothèse :
La suite ( un ) converge vers L
c-à-d Pour tout α > 0 il existe un rang p à partir duquel tous les termes
de la suites sont dans l'intervalle ] L - α , L + α [
c-à-d Pour tout α > 0 il existe p dans IN tel que pour tout n dans IN ,
si n ≥ p alors L - α < un < L + α
Prenons α = 10 - 3
il existe p dans IN tel que pour tout n dans IN ,
si n ≥ p alors L - 10 - 3 < un < L + 10 - 3
Prenons n = p
On peut dire: il existe p dans IN tel que L - 10 - 3 < up < L + 10 - 3
Donc : il existe p dans IN tel que up ≈ L à 10 - 3 près
4. Affirmation.
" Dans le cas où un = 1 + 1 / 2 ! + .......+ 1 / ( n + 1 )! et vn = un + 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]
les suites ( un ) et ( vn ) sont adjacentes ." OUI
• vn - un = 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] pour tout n dans IN
Donc :
lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
• un + 1 - un = 1 + 1 / 2 ! + .......+ 1 / ( n + 1 )! - [ 1 + 1 / 2 ! + ....... + 1 / ( n + 1 )! + 1 / ( n+2 ) ! ] = 1 / ( n+2 ) !
Pour tout n dans IN un + 1 - un ≥ 0
La suite ( un ) est croissante sur IN.
• vn + 1 - vn = un + 1 + 1 / [ ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - [ un + 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = un + 1 - un + 1 / [ ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = 1 / ( n+2 ) ! + 1 / [ ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = [ n + 2 + 1 ] / [ ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = ( n + 3 ) / [ ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = ( n + 3 ) / [ ( n + 1 ) ! × ( n+ 2 )2 ] - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ] ]
c-à-d
vn + 1 - vn = [( n + 3 )( n + 1) - ( n + 2 )2 ] / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 2)2 × ( n+1) ]
vn + 1 - vn = - 1 / [ ( n + 1 ) ! × ( n + 2)2 × ( n+1) ]
On a : vn + 1 - vn ≤ 0 pour tout n dan s IN
La suite ( vn ) est décroissante sur IN
Donc les deux suites sont bien adjacentes.
( ainsi elles convergent et ont la même limite finie )
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