INFO FIN EX 4 BAC JUIN 2012

                            INFO FIN EX 4              BAC JUIN 2012

           SUITE DE L'EXERCICE 4

            3. Soit h l'application qui, à tout point M d'affixe z non nulle, associe le point

                  mdeux-bac-juin.jpg

                 d'affixe 1/ z.

              a. Justifier que

                             serie-bac-juin.jpg.

              Cela revient à établir que 

                     h (g (A ) ) = A'   ,  h (g (B ) ) = B'   , h (g (C ) ) = C'  

             c-à-d  

                     h (g (A ) ) = f (A )   ,  h (g (B ) ) = f (B )   , h (g (C ) ) = f (C)  

              Aucun des points A , B et C n'est d'affixe  - 1.

             Il suffit de montrer que  h o g = f   dans le plan privé du point d'affixe - 1.

           Or:

  La traduction complexe de g est :     z ' = z + 1    avec le point M'( z' )  image du point M( z ) tel que z ≠ - 1 par g

  La traduction complexe de  h est :   z" = 1 / z '     avec le point M"( z" ) image du point M'( z' ) d'affixe non nulle z ' par h

   Donc la traduction complexe  de h og est :     z" = 1/ ( z + 1 ) avec le point M"( z" ) image du point M( z ) d'affixe  z ≠ - 1 

      Mais c'est justement la traduction complexe de f .

        Ainsi   f = h o g   dans le plan privé du point d'affixe - 1.

        Conclusion : Le résultat est avéré. 

         b. Démontrer que pour tout nombre complexe non nul z , on a :

                           | 1/ z   - 1 |  = 1   <=>   | z - 1 | = | z |     

              z est non nul 

              Donc | z | ≠ 0

                 | z - 1 | = | z |    s'écrit     | z - 1 |/ | z |   = | z |  / | z |

                c-à-d        |  ( z - 1 )/ z | = 1   

                c-à-d       | 1 - 1 / z |  = 1

               c-à-d         | 1/ z   - 1 |  = 1 

                Conclusion : L'équivalence est avéré.       

         c. En déduire que l'image par h de la droite

             dun-bac-juin-1.jpg 

             est incluse dans un cercle

              cerc-bac-juin.jpg    dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

             On admet que l'image par h de  D1 est le cercle la droite cerc-bac-juin.jpgprivé de O.

                      0 ne vérifie pas  | z - 1 | = | z |

             dun-bac-juin-1.jpg est l'ensemble des points M du plan d'affixes telles que | z - 1 | = | z |

              Donc il est inclus dans l'ensemble des points M du plan d'affixes telles que | 1/ z  - 1 | = 1.

              Ainsi  dun-bac-juin-1.jpg   est inclus dans l'ensemble des points M du plan tels que le point h( M  )  noté

                          mdeux-bac-juin.jpg    ait son affixe Z = 1 / z   qui vérifie |Z - 1 | = 1

              c-à-d    tels que  mdeux-bac-juin.jpg

                         soit dans le cercle de centre I (1 ) et de rayon 1.             

             Conclusion :  L'image par h de la droite   dun-bac-juin-1.jpg 

             est incluse dans un cercle   cerc-bac-juin.jpg    de centre I( 1 ) et de rayon 1 .

                          fig-bac-ter-2.jpg

         4. Déterminer l'image par l'application f de la droite D.

                On a:    f = h o g   dans le plan privé du point d'affixe - 1.

                     Aucun point de D n'est d'affixe - 1.

                             f ( D ) = h( g( D ) ) = h( dun-bac-juin-1.jpg   )

                 Or on admet que  h( dun-bac-juin-1.jpg   ) est le cercle  cerc-bac-juin.jpg  privé de O.

                 Conclusion : f( D )  est  le cercle cerc-bac-juin.jpg privé de O.

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