ROC SUR LES SUITES Mai 2013
1. RESULTAT de Cours:
Soit une suite ( un ) définies sur IN.
Si la suite ( un ) est croissante et non majorée sur IN alors elle diverge vers + ∞.
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EXPLICATIONS:
• La suite est croissante sur IN peut se traduire par:
( L'ordre des termes correspond à l'ordre des indices )
Pour tout n dans IN et tout p dans IN
si n ≥ p alors un ≥ up
• La suite est non majorée sur IN peut se traduire par :
( Pour tout réel positif aussi grand que l'on veut
on peut trouver un terme de la suite qui dépasse ce réel )
Pour tout A > 0 il existe un rang p dans IN tel que up > A .
On fusionne ces deux informations en les imbriquant:
Pour tout A > 0 il existe un rang p dans IN tel que
pour tout n dans IN , si n ≥ p alors un ≥ up > A .
On ne mentionne plus ensuite le terme intermédiaire up qui ne nous sert plus .
Pour tout A > 0 il existe un rang p dans IN tel que
pour tout n dans IN , si n ≥ p alors un > A .
Cette derniere phrase signifie :
( Pour tout réel positif aussi grand que l'on veut
on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite
dépassent ce réel )
C'est la traduction mathématique de :
lim un = + ∞
n → + ∞
Le résultat est avéré
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2. RESULTAT de Cours:
Soit ( un ) et ( vn ) deux suites définies sur IN .
Soit
• lim un = + ∞
n → + ∞
• vn ≥ un à partir d'un certain rang
Alors
lim vn = + ∞
n → + ∞
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EXPLICATIONS:
• vn ≥ un à partir d'un certain rang.
Cela se traduit par :
( vn ≥ un pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à un certain entier q .)
Il existe q dans IN tel que pour tout n dans IN,
si n ≥ q alors vn ≥ un
• lim un = + ∞ se traduit par :
n → + ∞
( Pour tout réel positif aussi grand que l'on veut
on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite ( un )
dépassent ce réel )
Pour tout A > 0 il existe un rang p dans IN tel que
pour tout n dans IN , si n ≥ p alors un > A .
On fusionne les deux informations en remplaçant p et q par le plus grand de p et q et on le note r.
Pour tout A > 0 il existe un rang r dans IN tel que
pour tout n dans IN , si n ≥ r alors vn ≥ un > A .
On ne mentionne plus ensuite le terme intermédiaire un qui ne nous sert plus .
Pour tout A > 0 il existe un rang r dans IN tel que
pour tout n dans IN , si n ≥ r alors vn > A .
C'est exactement la traduction de :
lim vn = + ∞
n → + ∞
Le résultat est avéré.
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