EX3 BTS SESSION 2009

    INFO    EXERCICE 3                   BTS              SESSION  2009

       EXERCICE 3              ( 8 points )

                Partie  A.  Etude du coût total de production.          

       y est en milliers euros le coût total de production mensuelle , en fonction

       de la production x , ( en tonnes).

 x 1 2 4 6 8 10
 y 32,5 38,5 44,6 48,4 51,1 53,3

                 a. On a décidé de poser z = e0,1 y   .

                    Complétons le tableau ( valeurs au centième .)  

 x 1 2 4 6 8 10
 z 25,79 46,99 86,49 126,47 165,67 206,44
                 b. Déterminons une équation de la droite de régression de z en x par la

                      méthode des  moindres carrés. ( Les coefficients sont arrondis à la première

                      décimale. ) 

                      Avec la calculatrice on a :   a = 19,98    et         b = 6,41

                       pour la précision demandée on obtient:

                        Conclusion;     z = 20,0  x + 6,4      

                 c.  On a :  r ≈ 0,999 

                       Donc le coefficient de corrélation est très proche de 1.

                       Conclusion:   Cet ajustement semble justifié .

                 

             2. a Utilisons le résultat de la question 1b. pour obtenir une expression de y

                        en fonction de x.

                       On a :   z = e0,1 y   

                       Donc      ln z = 0,1 y

                       c-à-d         10 ln z = y                ( en multipliant par 10 chaque membre . )

                      Mais     z ≈  20 x + 6,4

                      Donc :

                                Conclusion:           y ≈ 10  ln(  120 x + 6,4 )

                 b. En utilisant cette équation, estimons le coût total correspondant à une production 

                     de 7 tonnes.

                        Pour cela remplaçons x  par 7 dans l'équation ci-dessus .

                        On obtient :     y ≈  10  ln ( 20 ( 7 ) + 6,4   )

                           Conclusion :    y  ≈     49,863      milliers d'euros   quand   x = 7  tonnes

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        Partie B.  Etude de la recette et du bénéfice.   

                     L'entreprise K-gaz vend chaque tonne de ce produit chimique au prix de 8 k €.

          1.a Exprimons R ( x ) , la recette en milliers d'euros correspondant à  x tonnes 

                vendues en fonction de x .       

              Conclusion:     R ( x ) = 8 x      milliers d'euros.

            b. Représentons graphiquement cette fonction ( linéaire ) dans le repère en annexe.

               

             c. On admet que le coût en milliers d'euros pour une production de x  tonnes est :

                 C (  x  )  = 10 ln ( 20  x + 6, 4).

                 Expliquons pourquoi le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros,

                 correspondant à  x  tonnes produites et vendues , est:

                  B( x   ) = 8 x  - 10 ln( 20  x + 6, 4).

                  On a en effet :  B( x   ) = R ( x )  - C (  x  ) 

                     c-à-d    B( x   ) = 8 x  - 10 ln( 20  x + 6, 4).

                 Conclusion: L'égalité est justifiée. 

              2. On considère la fonction  B  sur l'intervalle [ 0 , 10 ].

                   a. Montrons que :

                        B' ( x   ) = ( 160 x  - 148,8) / ( 20  x + 6,4 )  pour x  tout  dans [ 0 , 10 ].

                       La fonction B  est définie est dérivable dans [ 0 , 10 ] car la

                       fonction u :  x → 20  x + 6, 4     est définie , dérivable et strictement positive

                       dans [ 0 , 10 ]. On  a  u' :  x → 20  .

                        Soit  x  dans [ 0 , 10 ].

                        On a :      B( x  ) = 8 x  - 10 ln( u( x ) ). 

                        Ainsi :     B' ( x  ) = 8   - 10 u'( x ) / u( x ) . 

                       On a :                      B' ( x   ) = 8   - 10 ( 20 / ( 20  x + 6, 4) )

                       c-à-d                      B' ( x   ) = ( 8 (  20  x + 6, 4 ) - 200  )/ ( 20  x + 6, 4)

                       c-à-d                        B' ( x   ) = ( 160 x + 51,2  - 200  )/ ( 20  x + 6, 4)

                       c-à-d                         B' ( x   ) = ( 160 x  - 148,8 ) / ( 20 x + 6, 4 )

                             Conclusion:  On a bien le résultat.

                   b. Donnons le signe de   B' ( x   ) .

                           Soit x  dans [ 0 , 10 ].

                          On a:      20 x + 6, 4 > 0

                           B' ( x   ) = 0    ssi    160 x  - 148,8 = 0  

                            c-à-d    B' ( x   ) = 0    ssi     x =  148,8 / 160 

                            c-à-d   B' ( x   ) = 0    ssi     x ≈  0,93 

                     De plus   B' ( x   ) > 0   ssi  160 x  - 148,8 > 0

                         c-à-d      B' ( x   ) > 0   ssi  x > 0,93

                       Conclusion:     B' > 0   sur   ] 0,93 ; 10 ]

                                                B' < 0   sur    [ 0 ; 0,93 [

                                                 B' (  x   ) = 0   ssi   x = 0,93 

                    Tableau de variation de   B  .                     

  x 0                                   0,93                                    10
    B' ( x   )         -                              0                    +
    B ( x   )    -18,56       ↓              -24,75                     ↑              26,7

         c. Justifions que B( x ) = 0  admet une unique solution α dans [ 0 , 10].

              • La fonction  B est décroissante strictement sur [ 0 ; 0,93] et  B( 0 ) < 0.

                 Donc  B  < 0 sur  [ 0; 0,93].

               • Sur [ 0,93 ; 10 ] la fonction  B est strictement croissante , continue , et

                   B ( 0,93) < 0   et   B ( 10 ) > 0.

                  Ainsi : Elle s'annule une et une seule fois entre 0,93 et 10.

                   Conclusion:  L'existence et l'unicité de α  est avérée.

                     A la calculatrice on a  α ≈  6,07     au centième près par excès.

            3. Le bénéfice de l'entreprise K-gaz sera positif  pour x  >= 6,07 

                 Le bénéfice est positif pour une production et vente d'au moins 6070 Kg.  

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