SPE TES

Cet exercice envisage plusieurs études réalisées par une société qui pratique des
sondages auprès de ses clients.
Les trois parties sont indépendantes.

PARTIE 1
La société pratique les sondages par courriel, et a recueilli les données suivantes au
cours de cinq campagnes de sondage.

Nombre de clients contactés : x	200	200	250	280	370
Nombre de sondages renvoyés : y	140	135	160	185	260

1. Déterminer le coefﬁcient de corrélation linéaire entre x et y, arrondi au centième.

REPONSE:

Avec la calculatrice r ≈ 0,991

Conclusion : r ≈ 0,99 au centième
2. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode
des moindres carrés, en arrondissant les coefﬁcients au centième.

REPONSE:

Avec la calculatrice: y = a x + b

a ≈ 0,717 et b ≈ − 10,465

Conclusion: y = 0,72 x − 10,46
3. La société souhaite recevoir davantage de sondages, en contactant un plus
grand nombre de clients.
En utilisant l’ajustement afﬁne trouvé à la question précédente, estimer le
nombre de sondages qui seront renvoyés si la société contacte 500 clients, en
arrondissant ce nombre à la dizaine.

REPONSE :

Soit x = 500

On a : y = 0,72 × 500 − 10,46

Donc : y = 349,54

Conclusion : Le nombre de sondages estimés est 350 à la dizaine.

PARTIE 2

La société réalise un sondage auprès d’utilisateurs d’internet.

On considère une personne choisie au hasard dans la population des sondés.
On déﬁnit les évènements suivants :
A : « la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus » ;
B : « la personne répond au sondage ».
Les statistiques de la société permettent de dégager les faits suivants :
• 75 % de la population des personnes sondées utilisent internet depuis 5 ans
ou plus ;
• si une personne sondée utilise internet depuis 5 ans ou plus, la probabilité
qu’elle réponde au sondage est égale à 0,6 ;
• si une personne sondée utilise internet depuis strictement moins de 5 ans, la
probabilité qu’elle réponde au sondage est égale à 0,3.
1. Présenter la situation de l’énoncé à l’aide un arbre pondéré, que l’on complètera.

REPONSE:

Au1
2. Calculer Au2 , puis P(B) en détaillant les calculs.

REPONSE:

On a :

Au3

Ainsi:

Au5

P( B ) = 0,450 + 0,075 = 0,525

Ainsi :

Conclusion: P( B ) = 0,525 et

Au4

3. Calculer P_B (A), en arrondissant au millième.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

REPONSE:

P_B( A ) = P( A ∩ B ) / P( B )

Or : P( A ∩ B ) = 0,450

et P( B ) = 0,525

Donc: P_B( A ) = 0,450 / 0,525

P_B( A ) ≈ 0,8571

Conclusion: P_B( A ) ≈ 0,857 au millième.

On peut l'interpréter en disant que si la personne a répondu au sondage

il y a 85,7% de chance que la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus.

PARTIE 3
1. La société étudie le temps mis par les personnes pour renseigner le questionnaire

relatif à un sondage donné. Elle modélise ce temps, exprimé en minute,
par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance 12,5 et d’écart
type 1,8.
a. Donner un arrondi au dixième du nombre a tel que
P( 12,5 − a ≤ T ≤ 12,5 + a) = 0,95.

REPONSE:

Considérons : P( 12,5 − a ≤ T ≤ 12,5 + a ) = 0,95

c-à-d P( μ − a ≤ T ≤ μ + a ) = 0,95 car μ = 12,5

Mais : P( μ − 2 σ ≤ T ≤ μ + 2 σ ) = 0,954

Vue la précision demandée ( au dixième ) pour a on peut considérer que :

P( μ − a ≤ T ≤ μ + a ) ≈ P( μ − 2 σ ≤ T ≤ μ + 2 σ )

Donc : a = 2 σ peut convenir

c-à-d a = 2 × 1,8

Conclusion : a = 3,6 au dixième

b. Calculer P(T ≥ 15), en arrondissant au centième.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

REPONSE:

On a : P(T ≥ 15) = P( 15 ≤ T )

Avec la calculatrice TI 84 +:

P( 15 ≤ T ) = normalcdf( 1.5,10^99 ,12.5,1.8)

c-à-d

P( 15 ≤ T ) ≈ 0,0824

Conclusion : P(T ≥ 15) ≈ 0,082

On peut dire qu'il y a 8,2 % de chance que le temps mis par

les personnes pour renseigner le questionnaire soit d'au moins 15 minutes.

2. La société remarque que 20 % des personnes qui répondent aux sondages
renseignent le questionnaire de façon incomplète, et rendent de ce fait le
sondage incomplet. De plus les personnes qui renseignent un questionnaire
le font indépendamment les unes des autres.
Pour un sondage donné, la société considère les 2 000 premières réponses
reçues, et modélise le nombre de sondages incomplets par une variable aléatoire X
aléatoire X qui suit une loi binomiale.

a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

REPONSE:

On a admis que X était de loi binomiale dans l'énoncé.

Comme on répète 2000 fois l'examination des réponses au sondage ( de façon indépendante ),

n = 2000 .

Comme pour chaque éxamination la probabilité d'avoir " incomplet" est de 20% ,

p = 20% .

Donc:

Conclusion :X est de loi B( 2000 ; 20 % )
b. Calculer la probabilité que le nombre de sondages incomplets soit infé-
rieur ou égal à 385, en arrondissant le résultat au centième.

REPONSE:

On veut P( X ≤ 385 )

Avec la calculatrice TI 84 +:

P( X ≤ 385 ) ≈ binomcdf(2000,0.20,385)

c-à-d P( X ≤ 385 ) ≈ 0,2094

Conclusion: P( X ≤ 385 ) ≈ 0,209

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