SPE TES

  Le chiffre d’affaires d’une start-up, dès son lancement, est modélisé par la fonction
f déﬁnie pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] par :
f (x) = x − 3 + ln(2 x − 4 )
où x est exprimé en mois et f (x) en dizaines de milliers d’euro.
On note C_f  la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé
   Rep45
   PARTIE 1 : Étude de la fonction f
  1. Un logiciel de calcul formel permet d’établir que pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] :
f ′(x) = 1 + 1 / ( x − 2 ).
a. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois expressions A, B, C,
est correcte. Recopier sur la copie l’expression correcte,sans justiﬁcation.
A : f ′( x ) =( x − 1) / (x − 2 )
B : f ′( x ) = 2 / ( x − 2 )
C : f ′( x ) = x / ( x − 1 )

REPONSE:

La bonne réponse est A : f ′( x ) = ( x − 1) / (x − 2 ) pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10]

car pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10]

1 + 1 / ( x − 2 ) = ( 1× ( x − 2 ) + 1 ) / ( x − 2 ) = ( x − 1) / ( x − 2 )
b. Quel est le signe de f ′( x ) sur l’intervalle [4 ; 10] ?

REPONSE:

Soit x de l’intervalle [4 ; 10] .

On a: x − 1 > 0 et x − 2 > 0

Donc ( x − 1) / ( x − 2 ) > 0

c-à-d f '( x ) > 0

Conclusion : f ' > 0 sur [4 ; 10]

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10].
On arrondira les valeurs de f (4) et f (10) au centième.

REPONSE:

On a : f ( 4 ) ≈ 2,3863 et f( 10 ) ≈ 9,7726

Au10
d. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois propositions A, B, C est correcte.
Recopier la proposition correcte, sans justiﬁcation :
• Proposition A : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
dans l’intervalle [4 ; 10], avec α ≈ 4,3 (arrondi au dixième) ».

• Proposition B : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
dans l’intervalle[4 ; 10], avec α = 4,42 (arrondi au centième) »,
• Proposition C : « L’équation f (x) = 3 admet deux solutions distinctes
α et β dans l’intervalle [4 ; 10] ».

REPONSE:

Conclusion : La bonne réponse est B
Explications non demandées:

f( x ) =3 admet une unique solution sur l’intervalle [4 ; 10] car

f est définie continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10]

avec f( 4) ≤ 3 ≤ f( 10 ).

On peut rejeter la réponse C car f ne peut pas y prendre deux fois la valeur 3.

On a : f( 4,42) ≤ 3 ≤ f( 10 ) car f( 4,42) ≈ 2,99 et f( 10 ) ≈ 9,77

C'est donc bien α = 4,42 (arrondi au centième) qui correpond à f( x ) = 3

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les ré-
sultats au centième.

x	4	5	6	7	8	9	10
f (x)	2,39	3,79	5,08	6,30	7,48	8,64	9,77

3. Tracer la courbe C_f dans le repère
Rep45
On pourra choisir 1 cm pour unité.
Placer sur cette courbe le point A d’abscisse α.

REPONSE:

Au13 1
4. a. Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l’aire s’exprime par
l’intégrale :
Au9 , en unité d’aire.

REPONSE:

Voir le domaine sous la courbe sur l'intervalle [4; 8 ]
b. Sur l’intervalle [4 ; 8], on approche la courbe C_f par un segment de droite,
dont les extrémités sont les points de la courbe C_f ayant pour abscisses 4
et 8.
En utilisant cette approximation graphique, donner une valeur approchée à l’unité de l’intégrale I.

REPONSE:

Le segment de droite est d'extrémités les points de coordonnées K ( 4, f( 4 ) ) et B( 8 , f( 8) )

Soit les points E( 4;0) et G( 8 ; 0 ).

L'aire sous ce segment est celle d'un trapèze rectangle KBGE d'aire:

( ( EK + GB ) / 2 ) ( 8 − 4)

Ainsi l'aire est en u.a :

( ( f( 4 ) + f( 8 )) / 2 ) ( 8 − 4) = 2 ( f( 4 ) + f( 8 ) )

f ( 4 ) ≈ 2,39

f( 8 ) ≈ 7,48

Ainsi : 2 ( f( 4 ) + f( 8 ) ) ≈ 19,74

L'uité d'aire est 1 cm²

Conclusion : I ≈ 19,74 cm²

Directement à la calculatrice on aurait : 20,14 cm²

c. En déduire la valeur approchée à l’unité de la valeur moyenne de la fonction I sur l’intervalle [4 ; 8].

REPONSE:

On a : m = ( 1 / ( 8 − 4 )× I

c-à-d m ≈ 0,25 × 19,74

m ≈ 4,935

Conclusion : m ≈ 5 à l’unité
PARTIE 2 : Interprétations

1. Combien de mois après son lancement le chiffre d’affaires de cette start-up
atteint-t-il 30 000 euros, selon le modèle adopté dans cet exercice ?

REPONSE:

30 000 euros = 3 dizaines de milliers d'euros

Cela correspond à f ( x) = 3

Ainsi x = α

c-à-d x ≈ 4,42 mois

Conclusion : Au bout de 4,42 mois . (On peut prendre 5 mois. )
2. Donner une estimation du chiffre d’affaires moyen par mois de cette start-up
entre le 4^e et le 8^e mois.

REPONSE:

Une estimation du chiffre d’affaires moyen par mois est donnée par la valeur

moyenne m de f sur l'intervalle [4;8].

m ≈ 5

Donc: l'estimation est 50 000 euros

------------------------------------------

Mentions légales Gestion des cookies