INFO ACTIVITE SUR CARMICHAËL TS spé math. avril 2017
Activité sur les nombres de Carmichaël.
Un entier naturel n est un nombre de Carmichaël
si et seulement si
• n > 2.
• n est le produit d'au moins trois nombres premiers autres que 2.
• Soit p un nombre premier p quelconque.
p | n ⇒ p − 1 | n − 1.
1. Soit n = 561 = 3 × 11 × 17.
n est-il un nombre de Carmichaël?
REPONSE:
On a:
• 561 > 2
• 3 , 11 , 17 sont des nombres premiers autres que 2 et
561 = 3 × 11 × 17.
• Les nombres premiers qui divisent 561 sont 3 , 11 , 17.
561 − 1 = 560
♦ 3 − 1 = 2 Or 2 | 560 sachant 560 = 2 × 280
♦ 11 − 1 = 10 Or 10 | 560 sachant 560 = 10 × 56
♦ 17 − 1 = 16 Or 16 | 560 sachant 560 = 16 × 35
Conclusion: OUI. 561 est bien un nombre de Carmichaël.
2. Soit n = 1105 = 5 × 13 × 17.
n est-il un nombre de Carmichaël ?
REPONSE:
On a:
• 1105 > 2
• 5 , 13 , 17 sont des nombres premiers autres que 2 et
1105 = 5 × 13 × 17.
• Les nombres premiers qui divisent 1105 sont 5 , 13 , 17.
1105 − 1 = 1104
♦ 5 − 1 = 4 Or 4 | 1104 sachant 1104 = 4 × 276
♦ 13 − 1 = 12 Or 12 | 1104 sachant 1104 = 12 × 92
♦ 17 − 1 = 16 Or 16 | 1104 sachant 1104 = 16 × 69
Conclusion: OUI. 1105 est bien un nombre de Carmichaël.
3. Un nombre de carmichaël peut-il être premier ?
REPONSE:
Soit n un nombre de Carmichaël.
Alors n est le produit d'au moins trois nombres premiers p1 , p2 , p3 autres que 2.
Ainsi : Il existe un entier naturel non nul q tel que : n = p1 × p2 × p3 × q
p1 × p2 est un entier naturel qui divise n car n est un multiple de p1 × p2 .
p1 × p2 ≠ 1 car p1 > 2
p1 × p2 ≠ n car p1 × p2 ≠ p1 × p2 × p3 × q sachant p3 > 2
Donc n est divisible par un entier naturel p1 × p2 autre que 1 et n.
Conclusion: NON. Un nombre de Carmichaël ne peut pas être premier.
4. Soit n = 385 = 5 × 7 × 11 .
n est-il un nombre de Carmichaël ?
REPONSE :
On a:
• 385 > 2
• 5 , 7 , 11 sont des nombres premiers autres que 2 et
385 = 5 × 7 × 11.
• Les nombres premiers qui divisent 385 sont 5 , 7 , 11.
385 − 1 = 384
♦ 5 − 1 = 4 Or 4 | 384 sachant 384 = 4 × 96
♦ 7 − 1 = 6 Or 6 | 560 sachant 384 = 6 × 64
♦ 11 − 1 = 10 Mais 10 ne divise pas 384
car 384 n'est pas divisible par 5
Conclusion: NON. 385 n'est pas un nombre de Carmichaël.
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