Activité de justification du Petit Th. de Fermat Mai 2017 TS spé
ACTIVITE:
Le petit Th. de Fermat dit:
| ap ≡ a [ p ] pour tout entier naturel a et tout nombre premier p |
Ce qui s'écrit aussi:
ap − a ≡ 0 [ p ] pour tout entier naturel a et tout nombre premier p
ou encore :
p | ap − a pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?
Le but de cette activité est de le justifier en répondant à une série de questions.
Partie A.
Soit p un nombre premier et a un entier naturel qui n'est pas un multiple de p.
On considère M = { a ; 2 a ; 3 a ; .... ; ( p − 1 ) a }
M est donc l'ensemble des entiers naturels multiples non nuls de a qui sont
strictement inférieurs à p×a.
1. Montrer qu'aucun élément de M n'a un reste nul dans la division euclidienne par p.
2. Montrer que deux éléments distincts de M ont des restes distincts
dans la division euclidienne par p.
3. En déduire que les restes dans la division euclidienne par p des
éléments de M , sont à l'ordre près 1 ; 2 ; ... ; p − 1 .
4. Soit N le produit des éléments de M.
a . Montrer que N = ( p − 1)! a p − 1 .
b. De la question 3, déduire que N ≡ ( p − 1)! [ p ] .
c. En déduire que ( p − 1)! ( a p − 1 − 1) ≡ 0 [ p ] .
Puis que a p − 1 ≡ 1 [ p ].
Partie B
Déduire de la partie A que p divise a p − a
pour tout nombre premier p et tout entier naturel a.
( c-à-d le petit Th de Fermat )
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