INFO Activité sur le Petit Th. de Fermat Mai 2017 TS spé
ACTIVITE:
Le petit Th. de Fermat dit:
| ap ≡ a [ p ] pour tout entier naturel a et tout nombre premier p |
Ce qui s'écrit aussi:
ap − a ≡ 0 [ p ] pour tout entier naturel a et tout nombre premier p
ou encore :
p | ap − a pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?
Le but de cette activité est de le justifier en répondant à une série de questions.
Partie A.
Soit p un nombre premier et a un entier naturel qui n'est pas un multiple de p.
On considère M = { a ; 2 a ; 3 a ; .... ; ( p − 1 ) a }
M est donc l'ensemble des multiples non nuls de a qui sont strictement inférieurs à p×a.
1. Montrer qu'aucun élément de M n'a un reste nul dans la division euclidienne par p.
REPONSE:
Soit n un élément de M.
Alors il existe un entier k l'ensemble { 1 ; 2 ; 3 ; ....; p − 1 } tel que n = ka .
Raisonnons par l'absurde:
Supposons que le reste de la division de n par p soit nul
c-à-d supposons que p | n .
On a : 1 ≤ k < p
Donc p ne divise pas k.
p est premier
Donc p n'admet que deux diviseurs distincts 1 et p.
Le seul diviseur commun entre k et p est donc 1
PGCD( k , p ) = 1
Or p | n c-à-d p | ka
D'après le Th de Gauss p | a
Donc a serait un multiple de p .
Ce qui est contraire aux hypothèses.
Conclusion: Pour tout n dans M, le reste de la division
de n par p n'est pas nul.
2. Montrer que deux éléments distincts de M ont des restes distincts
dans la division euclidienne par p.
REPONSE:
Soit n et n' dans M .
Il existe distincts k et k ' dans l'ensemble { 1 ; 2 ; 3 ; ....; p − 1 } avec k ≠ k'.
Prenons k > k ' ( même raisonnement pour k < k ' )
Raisonnons par l'absurde:
Supposons que n' et n , ont le même reste dans la division euclidienne par p.
c-à-d k a ≡ k ' a [ p ]
c-à-d k a − k' a ≡ 0 [ p ]
c-à-d ( k − k' ) a = 0 [ p ]
c-à-d p | ( k − k' ) a
On a : 1 ≤ k < p et 1 ≤ k' < p
c-à-d 1 ≤ k < p et − p < − k ' ≤ − 1
Donc 1 − p < k − k' < p − 1 par somme membre à membre
Mais k > k' c-à-d 0 < k − k'
Donc : 0 < k − k' < p − 1
c-à-d 1 ≤ k − k' < p − 1
D'après l'argumentation déjà expliquée de la question précédente ( utlisant Gauss)
mais cette fois avec k − k' au lieu de k on peut déduire que p ne peut pas diviser ( k − k' ) a
Contradiction.
Conclusion: Deux éléments distincts de M n'ont pas le même reste
dans la division euclidienne par p.
3. En déduire que les restes dans la division euclidienne par p des
éléments de M , sont à l'ordre près 1 ; 2 ; ... ; p − 1 .
REPONSE:
Soit n un élément quelconque de M.
Soit r le reste d la division euclidienne de n par p.
Alors : n ≡ r [ p ] avec 0 ≤ r < p
Donc 0 ≤ r ≤ p − 1
Mais r ne peut pas être nul.
puisque, d'après la première question, aucun élement de M
n'a un reste nul dans la division par p.
Ainsi : 0 < r ≤ p − 1
Les restes r sont de plus tous différents.
Ainsi pour tout n dans M, les p − 1 restes de la division euclidienne de n par p
sont donc les entiers:
1 ; 2 ; ... ; p − 1
Conclusion: Le résultat est avéré.
4. Soit N le produit des éléments de M.
a . Montrer que N = ( p − 1)! a p − 1 .
REPONSE:
On a :
N = 1a × 2a × 3a × .. × ( p − 1 ) a
Donc, comme il y a p − 1 facteurs a
N = 1 × 2 × 3 .....× ( p − 1 ) × ap − 1
c-à-d
Conclusion:
N = ( p − 1 )! × ap − 1
b. De la question 3, déduire que N ≡ ( p − 1)! [ p ] .
REPONSE:
On a les p − 1 éléments de M que sont a ; 2a ; 3a ; ....; ( p − 1)a
qui ont chacun un reste différents r1 ,r2 , ... , rp − 1 dans la division
euclidienne par p.
r1 ,r2 , ... , rp − 1 sont les entiers distincts de l'ensemble { 1 ; 2 ; ... ; p − 1 }
d'après la question n°3.
Ainsi : a ≡ r1 [ p ] avec
2 a ≡ r2 [ p ]
......
( p − 1) a ≡ rp − 1 [ p ]
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Le produit donne : 1a × 2a × 3a × .... × ( p − 1 ) a ≡ r1 × r2 × ... × rp − 1 [ p ]
c-à-d N ≡ 1 × 2 × ... × ( p − 1 ) [ p ]
c-à-d
Conclusion: N ≡ ( p − 1)! [ p ]
c. En déduire que ( p − 1)! ( a p − 1 − 1) ≡ 0 [ p ] .
Puis que a p − 1 ≡ 1 [ p ].
REPONSE:
La congruence N ≡ ( p − 1)! [ p ]
comme N = ( p − 1)! a p − 1
s'écrit : ( p − 1)! a p − 1 ≡ ( p − 1)! [ p ]
c-à-d ( p − 1)! a p − 1 − ( p − 1)! ≡ 0 [ p ]
c-à-d ( p − 1)! ( a p − 1 − 1 ) ≡ 0 [ p ]
De plus :
Ainsi : p | ( p − 1)! ( a p − 1 − 1)
Mais PGCD( p − 1)! , p ) = 1
Donc d'après le Th de Gauss
p | a p − 1 − 1
c-à-d a p − 1 − 1 ≡ 0 [ p ]
c-à-d a p − 1 ≡ 1 [ p ]
Conclusion : On a les deux congruences demandées.
Partie B
Déduire de la partie a que p divise a p − a
pour tout nombre premier p et tout entier naturel a.
( c-à-d le petit Th de Fermat )
REPONSE:
Soit p un nombre premier quelconque.
Soit a un entier naturel.
• Cas: p ne divise pas a.
On vient de voir dans ce cas que: a p − 1 − 1 ≡ 0 [ p ]
Donc, en multipliant par a, il vient :
a × a p − 1 − a × 1 ≡ 0 [ p ]
c-à-d a p − a ≡ [ p ]
c-à-d p | a p − a
• Cas: p divise a.
Comme p | a et p | a p p ≥ 2
On a : p | a p − a
Conclusion : Le Th de Fermat est prouvé.
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