DV 4 Spé maths 8 / 12/16

                                  DVn°  4         Spé. maths         TS           28 novembre 2016

                  EXERCICE 1.                    

        C'est l'histoire d'un petit lièvre qui, placé sur un sommet du triangle ABC, se déplace

        aussitôt d'un bond sur un autre sommet du triangle ABC.

                                            Lap1

       A chaque instant, le lièvre peut aller, au choix, sur l'un des deux sommets qu'il n'occupe

         pas avec la même probabilité pour chacun.

        Soit  n  un entier naturel.

        On note an la probabilité que le lièvre soit en A après le n ième déplacement,

        bn  la probabilité que le lièvre soit en B après le n ième  déplacement ,

       et cn la probabilité que le lièvre soit en C après le n ième déplacement.

        a0, b0 et c0 sont des réels de l'intervalle [ 0 ; 1 ]  tels que a0 + b0+ c0 = 1.

       Pour tout entier naturel n, on note Pn = ( an   bn    cn )  la matrice ligne traduisant

       l’état probabiliste après le n ième déplacement.

      1. Traduire la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.

      2. Donner la matrice de transition M du graphe.

      3. a. Exprimer Pn en fonction de M, n et P0    , pour tout n ∈ N

          b. Trouver  la matrice  M4.

          c. Déterminer,  en fonction de a0, b0 et c0, la probabilité que le lièvre soit en A

              après la quatrième déplacement.

      4. Le but de cette question est de trouver la limite des coefficients de Mn

           lorsque n tend vers + ∞.

            a. Etablir que   

                     M = (1/2) ( N − I )          où  I est la matrice identité d’ordre 3 et                                 

            Lap8 1                                  

              b. Vérifier que:      N2 = 3 N.

              c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n naturel non nul,

                         Mn =  ( 1/3  )  [  N +  ( − 1/2 )n   ( 3 I − N ) ]

           d. En déduire la limite des coefficients de la matrice Mn

               lorsque n tend vers +∞.

       5.a.  Indiquer ce que devient  Pn lorsque n tend vers  + ∞.  

                   ( On rappelle que  a0 + b0 + c0 = 1 )

            b. Cette limite correspond-t-elle à un état stationnaire pour M ?

           ( On cherchera, pour cela, l'état stationnaire s'il existe, puis on comparera).

        6. Interpréter les résultats des questions précédentes pour la position du lièvre.

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