DV n°2 TS spé maths

                             Devoir n ° 2         mardi 10 novembre 2015  TS  spé maths

          EXERCICE 1

         On a la matrice triagulaire A:

                       Mtrpi7

        1. On pose  B = A − I3   .

             Calculer B2  et B3 .   

     2. On souhaite calculer  An = ( B + I3 )n   pour tout n dans IN.

           a. Peut-on utiliser la formule du binôme de Newton pour développer ( B + I3 )n ?

                 Pourquoi ?

           b. Démontrer que , pour tout entier naturel n≥ 3  on a :                    

                     Dagada

                   En déduire l'expression de An  pour  tout entier n ≥ 3. 

          c. L'expression de An   trouvée dans la question précédente

               reste-t-elle valable pour n = 0 , n =1 , n = 2  ?      

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     EXERCICE 2

          On pose : 

                Mt47

    1. Calculer  A5 , A10 et  A20  .    

    2. On donne : 

                   Pp45p

           Démontrer que P est inversible. et calculer son inverse.               

     3. Démontrer que la matrice D = P − 1 A P est une matrice diagonale

          dont on donnera les coefficients.

     4. En déduire que l'on a  A = P Dn P− 1     pour tout n dans IN.

         Calculer Dn puis An  pour tout entier naturel n.

    5. On fait tendre n vers + ∞, démontrer que les coefficients de la matrice An  convergent

        vers ceux d'une matrice B dont on donnera les coefficients.

         Comparer avec les résultats obtenus à la question 1.

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