DV n° 7 TS Spé. Math. 14 mars 2017 Arithmétique
EXERCICE
Partie A.
On rappelle ci-dessous le Théorème de BEZOUT et le Théorème de GAUSS.
• Théorème de BEZOUT :
Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si
il existe un couple ( u , v ) d'entiers relatifs vérifiant :
a u + b v = 1
• Théorème de GAUSS:
Soient a, b ,c des entiers relatifs.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux ,
alors a divise c.
1. En utlisant le Théorème de BEZOUT , démontrer le Théorème de GAUSS.
2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q soient premiers entre eux.
Déduire du Théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif tel que
a ≡ 0 [ p ] et a ≡ 0 [ q ] , alors a ≡ 0 [ pq ]
Partie B.
On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système:
n ≡ 9 [ 17]
n ≡ 3 [ 5]
1. Recherche d'un élément de S.
On désigne par ( u , v ) un couple d'entiers relatifs tels que 17 u + 5 v = 1 .
a. Justifier l'existence d'un tel couple ( u , v ).
b. On pose n0 = 3× 17 u + 9 × 5 v
Démontrer que n0 appartient à S.
c. Donner un exemple d'entier n0 appartenant à S
2. Caractérisation des éléments de S.
a. Soit n un entier appartenant à S.
Démontrer que n − n0 ≡ 0 [ 85 ]
b. En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et
seulement si n peut s'écrire sous la forme n = 43 + 85 k
où k est un entier relatif.
3. Application.
Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.
• Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
• Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons?
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