INFO DV n°2 TS spé maths

                         INFO   DV n° 2     Spé maths  TS   10/11/15

 ------------------------------------------------------------------------------------

      EXERCICE 1 

         On a la matrice triangulaire A:

                       Mtrpi7

        1. On pose  B = A − I3   .

      Calculer B2  et B3 .

      Réponse:

           Avec la calculatrice on obtient:

          Conclusion:

                Mtrsd4

     2. On souhaite calculer  An = ( B + I3 )n   pour tout n dans IN.

           a. Peut-on utiliser la formule du binôme de Newton pour développer ( B + I3 )n ?

                Pourquoi ?

                  Normalement le produit des  matrices n'est pas commutatif.

                Donc d'une façon générale la formule du binôme de Newton n'est pas valable pour les matrices.

                Mais pour certaines matrices on peut commuter. C'est la cas avec la matrice unité I3 .

                  La matrice I3 commute avec toute matrice carrée d'ordre 3.

               Ce qui dans ce cas autorise son utilisation.

                Par exemple:       B2 x I3   =  I3 x B2  

            Conclusion: Ici  oui on peut utiliser la formule pour   (  B + I3  )n  .

         b. Démontrer que , pour tout entier naturel n≥ 3  on a :

                      Dagada

               En déduire l'expression de An  pour  tout entier n ≥ 3. 

               Réponse:

              La formule du binôme de Newton est:

              c-à-d :

   Dagada112

       c-à-d   ici

       Jz45poi58

                On vient de voir que  B3  = 0 .

              Donc  B3 + p    = B3  x Bp  = 0   pour tout  entier naturel p.

               Donc  

                      Bk = 0   pour tout entier naturel k  ≥ 3.

             Dans la somme précédente tous les termes 

                 Lamtrc45  

                 sont des matrices nulles pour tout entier naturel k  ≥ 3.

             Il reste donc dans la formule:

            Conclusion:   

                 Pour tout entier naturel n  ≥ 3.

              Dagada

          c. L'expression de An   trouvée dans la question précédente

               reste-t-elle valable pour n = 0 , n =1 , n = 2  ?

           Réponse:

           •  Pour n = 2   elle est valable.

           •  Pour n = 1  Il faut considérer :

               A1 = ( B + I3 )1 = B + I3

           • Pour n = 0 il faut écrire :

                A0 = ( B + I3 )0 =  I3

-------------------------------------------------------------------------------------

        EXERCICE 2

           On pose :        

                Mt47

    1. Calculer  A5 , A10 et  A20  .   

      Avec la calculatrice on calcule A5   puis

      on utilise  A10 = A5 x A5    et A = A10 x A10  

  Il vient:     

              Cl487

    2. On donne : 

                   Pp45p

           Démontrer que P est inversible et calculer son inverse.

           Réponse:

         det( P ) = − 2

          Donc  det( P )  n'est pas nul.

        Conclusion: La matrice P est inversible.

         On a avec la calculatrice: 

                Ivers45

     3. Démontrer que la matrice D = P − 1 A P est une matrice diagonale

          dont on donnera les coefficients.

        Réponse :

     On a :   

               Gmol147

    4. En déduire que l'on a  A = P Dn P− 1     pour tout n dans IN.

         Calculer Dn puis An  pour tout entier naturel n.

               Réponse:

          ♦Raisonnons par récurrence sur IN.

          • n = 0

               On a:

                     P Dn P − 1    = P D0 P −1   =   P I P −1     P  P −1  = I

                     An  = A0 = I

               Donc l'égalité est vraie pour n = 0

             • Soit n dans IN quelconque.

                 Montrons que si  An  =      P Dn P − 1   alors  An + 1  =      P Dn + 1  P − 1 

             Considérons :

                           An  =    P Dn P − 1  

            Alors :         A  An  =  A  P Dn P − 1  

           Mais on a vu que         D = P − 1 A P 

                           c-à-d     P D P − 1   = A 

           En reportant on a :       A  An  =    P D P − 1  P Dn P − 1  

                   c-à-d

                                    An + 1  =    P D I Dn P − 1  =  P D Dn P − 1  

                c-à-d

                                              An + 1  =   P  Dn + 1 P − 1  

               Conclusion : Le résultat est prouvé sur IN

    ♦ D est la matrice diagonale D = diag( 1 , 0.3 ,0.5 ) 

        dont aucun terme de la diagonale principale n'est nul.

           Ainsi  pour tout entier naturel  n,  y compris 0,  on a :

               Dn =  diag( 1n  , 0.3n ,0.5n ) 

            c-à-d 

          Conclusion :

                 Zae12ret

          Ainsi      An  =    P Dn P − 1    se traduit par:

               Prdf47

     c-à-d

       Lk47poi

    c-à-d

      Conclusion :

        Abraca14

    5. On fait tendre n vers + ∞, démontrer que les coefficients de la matrice An  convergent

       vers ceux d'une matrice B dont on donnera les coefficients.

     Comparer avec les résultats obtenus à la question 1.

            Réponse :

    On a :

           0≤ 0, 3 < 1       Donc   lim 0,3n  = 0              

                                               n → + ∞

        De plus       

     0≤ 0, 5 < 1       Donc   lim 0,5n  = 0              

                                               n → + ∞

   Ainsi :

         Conclusion:

           Ds4mlk547

         C'est très proche du résultat de A20 .

-------------------------------------------------------------------------------------------