INFO TEST EX 2 TS spé 31 janv. 2017

                             TEST    Spé math.   TS    31 janvier 2017

    EXERCICE 2             
           Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
    Partie A
            On considère les matrices M de la forme

                
           où a et b sont des nombres  entiers.
           Le nombre 3 a − 5 b  est appelé le déterminant de M.

             On le note det(M).
             Ainsi:    det(M) = 3 a − 5 b.
    1. Dans cette question on suppose que det(M) 6 = 0

        et on pose: 

        Justifier que N est l’inverse de M.
              REPONSE:

                 Il suffit de vérifier que:    NM = MN = I

            Conclusion : N est bien la matrice inverse de M

     2. On considère l’équation (E) : det(M) = 3.
         On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).
          a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

                 REPONSE:

               Soit   a = 6  et  b = 3

             On a: :  

                  3 a − 5 b = 3 × 6 − 5 × 3 = 18 − 15  = 3

               Donc:             3 a − 5 b = 3 

          Conclusion: le couple (6 ; 3) est une solution de (E).
          b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement
                       si  3(a − 6) = 5(b − 3).

              REPONSE:

                 On sait que :    3 × 6 − 5 × 3 = 3    

             Donc :

                ( E ) c'est-à-dire     3 a − 5 b = 3 

            équivaut à la différence ( membre à membre )

                   3 a − 5 b − ( 3 × 6 − 5 × 3 ) = 3 −  3      

                              ( Méthode plus longue mais très utile pour les équivalences )

           c-à-d

                    3 a  −  3 × 6 +  5 × 3  − 5 b  +  5 × 3  = 0

             c-à-d    

                  3( a −  6 )   − 5 ( b − 3) =0

              c-à-d       3( a −  6 )  = 5 ( b − 3)

               Conclusion: On a bien l'équivalence

       Partie B
          1. On pose:

               
              En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
            REPONSE:

               En  faisant a = 6 et b = 3  on a :  Q = M

                Det( Q ) =  3    non nul

                 Alors  N  donne  Q^{− 1​}

                 Conclusion :

      2. Codage avec la matrice Q
            Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q
            on utilise la procédure ci-après :
               • Étape 1 : On associe au mot la matrice

                   
             où x₁ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x₂ l’entier

              correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

    
                •Étape 2 :    La matrice X est transformée en la matrice

                                      
                                    telle que   Y = QX.
                • Étape 3 :    La matrice Y est transformée en la matrice

                                       
                 telle que r₁ est  le reste de la division euclidienne de y₁ par 26 et r₂ est le reste de la division
                 euclidienne de y₂ par 26.
                •  Étape 4 :

                 À la matrice R 
                 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
                 Exemple : 
                      

                      Le mot JE est codé en le mot OF.
                       Coder le mot DO.

               REPONSE:

                 Pour JE :    x₁   = 9   et  x₂ = 4

                 Donc :  

                On a :

                         r₁ = 8   qui correspond à I

                    et  r₂ = 5    qui correspond à F

                     Conclusion: DO est codé IF
             3. Procédure de décodage.
                 On conserve les mêmes notations que pour le codage.
                 Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que
                  Y = QX.
            a. Démontrer que 3X = 3Q^{− 1} Y  puis que
                 3 x₁ ≡ 3 r₁ − 3 r₂   [26]
                3 x₂ ≡ − 5 r₁ + 6 r₂   [26]

                REPONSE:

                  •  Pour l'égalité:

                      On a :     Y = QX   et Q est inversible

                   Donc      Q^{− 1} Y = Q^{− 1} Q X

                    c-à-d     comme    Q^{− 1} Q = I

                              Q^{− 1} Y = I X  = X   

                 D'où :      

                    Conclusion :   3   Q^{− 1} Y = 3 X 
               •  Traduisons cette information.

                     On a déjà :

                   Or    y ₁ ≡ r₁  [ 26 ]         × 3                   ×  (  − ​ 5 )

                            y ₂ ≡ r₂  ​[ 26 ]        × (  − 3 )           × 6

                D'où :     3 y ₁   − 3  y ₂    ≡ 3 r₁ − 3 r₂    [ 26 ]  

                     et       − 5 y ₁   + 6  y ₂    ≡  − 5  r₁ + 6 3 r₂    [ 26 ]  

                     En remplaçant les membres de gauche on obtient:

                Conclusion:

                 3 x₁ ≡ 3 r₁ − 3 r₂ [26]
                3 x₂ ≡ − 5 r₁ + 6 r₂ [26]
            b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que
               •  On a :     

                    9  × 3 = 27 = 1 + 26

                  Donc :       9  × 3  ≡  1  [ 26 ]

           • Multiplions par 9 les membres des deux congruences  vues dans le 3.a:

                         9 × 3 x₁ ≡ ​ 9 ×( 3 r₁ − 3 r₂  )   [ 26 ]

                         9 × 3 x₂ ≡ ​ 9 × ( − 5 r₁ + 6 r₂  )   [ 26 ]

                    c-à-d 

                                 9 × 3 x₁     ≡ ​ 9 × 3 r₁ −  9 × 3 r₂     [ 26 ]

                             9 × 3 x₂  ≡ ​ − 45 r₁ + 54 r₂     [ 26 ]

                    Comme   9  × 3  ≡ 1  [ 26 ]  on a  de plus: 

                            9 × 3 x₁ ≡ ​x₁   [ 26 ]

                            9 × 3 x₂ ≡ x₂   [ 26 ] 

                De plus :

                      ​ 9 × 3 r₁   ≡ ​r₁   [ 26 ]

                     ​ 9 × 3 r₂   ≡ ​r₂   [ 26 ]       D'où     9 × 3 r₁ −  9 × 3 r₂   ≡ ​  r₁ −  r₂     [ 26 ]     

              Ainsi :   x₁ ≡ ​  r₁ −  r₂     [ 26 ]           

                           x₂ ≡ ​  − 45 r₁ + 54 r₂     [ 26 ]

                 Mais    54 = 2  × 26 + 2

                            et      − 45 +  2 × 26 =   7 

                 Donc on obtient bien :

                    Conclusion

                  x₁ ≡ r₁ − r₂ [26]
                  x₂ ≡ 7r₁ + 2r₂ [26]
             c. Décoder le mot SG.  

                On  a  :    r₁  =  18   et    r₂ = 6 

             En reportant dans les deux congruences précédentes on obtient:

                  x₁   ≡ 18 − 6 [ 26 ]    avec     0 ≤ x₁ < 26

                  x₂   ≡ 7 × 18 + 2× 6   [ 26 ]   avec     0 ≤ x₂ < 26

                   c-à-d   

                       x₁   ≡ 12 [ 26 ]           avec     0 ≤ x₁ < 26

                        x₂   ≡ 138   [ 26 ]         avec     0 ≤ x₂ < 26

                Mais:      138 = 5 ×  26 + 8

                  Donc :  

                        x₁   ≡ 12 [ 26 ]           avec     0 ≤ x₁ < 26

                        x₂   ≡ 8   [ 26 ]         avec     0 ≤ x₂ < 26

                On a:             x₁   = 12   et       x₂  = 8

               Conclusion:    SG se décode en MI

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