EX spé 09/ 02/16

                EXERCICE 4                  Spé maths             9 février 2016

                        Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

    1. Soit a un entier relatif.

       a. Établir que si 5 divise a alors 5 divise 11a.

       b. Montrer que : si 11a ≡ 0 [ 5 ] alors 45 a – a  ≡ 0 [ 5 ]

           En déduire que si 5 divise 11a alors 5 divise a

       c. Soit x et y deux entiers relatifs tels que  11 ( 4 – x ) = 5 ( 6 – y )

          Justifier qu'il existe un entier relatif k tel que x = 4 – 5 k

     2. On note ( E ) l'équation 11 x − 5 y = 14

          où x et y sont des entiers relatifs.

         a. Vérifier que le couple  ( x , y ) = ( 4 , 6 ) est une solution de ( E ).

         b. Montrer que pour tout entier relatif k,  le couple (x , y ) = ( 4 – 5 k , 6 – 11 k )

               est solution de ( E ).

      3.a. Justifier que :   ( E ) équivaut à

                                    Sy45

          b. Peut-on dire que  ( E ) équivaut à ?

                               Sy46

     4. a. Justifier que ( E ) implique qu'il existe un entier relatif k tel que 

                     x = 4 – 5 k   et    y = 6 – 11 k

          b. A l'aide des questions 4.a et 2.b donner tous les couples ( x , y ) d'entiers relatifs

              qui sont solutions de ( E ).

      5. a. Démontrer que : Pour tout entier naturel n on a

                           Sy47

          b. Déterminer le reste de la division euclidienne 2011 2012  par 7.

     6. Soit a et b deux nombres réels.

           Soit les matrices :

                      Sy49 1

        a. Monter que :

                        M2 − ( a + b ) M = ( 1 − a − b ) I

       b. En déduire les matrices M telles que  M2 = M

       c. On considère l'algorithme suivant où Ent( A / N ) désigne  la partie 

           entière de     A / N.

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           A et N sont des entiers naturels

           Saisir A

           N prend la valeur 1

          Tant que:    N ≤ √A

                                Si A / N – Ent( A / N ) = 0 alors Afficher N et A / N

                                Fin de si

           N prend la valeur N + 1

           Fin de tant que.

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              Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12

                Que donne cet algorithme dans le cas général ?

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