Utilisation des diviseurs TS spé maths janvier 2016
Remarque:
• La notion de nombre premier est déjà connue d'un élève bien avant la terminale.
Un entier naturel est premier quand il admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.
Ainsi 2 , 3 , 5 ,7 sont les nombres premiers inférieurs à 10 connus.
• La notion d'entiers naturels non nuls premiers entre eux est aussi connues:
ils n'ont que 1 comme diviseurs communs.
• Ainsi de nombreux résultats d'arithmétique évoqués en terminale ne font
qu'ordonner des notions simples usuelles déjà rencontrées avant.
EXERCICE 4
Soit x et y deux entiers relatifs tels que 15 x − 7 y = 44
Soit d un entier relatif non nul .
1. Montrer que si d divise 15 et 7 alors d divise 44 et 7.
( Aide: Si d divise 15 et 7 alors d divise toute combinaison linéaire 15 a + 7 b
où a et b sont des entiers relatifs )
2. On suppose que d n'admet pas de facteur
premier commun avec x.
Montrer que si d divise 7 et 44 alors d divise 15 et 7.
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REPONSE :
1 •Soit d un entier relatif non nul qui divise 15 et 7.
Il existe k et k ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :
15 = d k
7 = d k '
Donc : 15 x + 7 y = d k x + d k ' y = d ( k x + k ' y )
k x + k ' y est un entier relatif que l'on note k''.
On peut dire :
Il existe k' ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :
15 x + 7 y = d k ' '
Donc 15 x + 7 y est un multiple de d
Comme d est non nul 15 x + 7 y est divisible par d.
Mais 15 x + 7 y = 44
Ainsi d divise 44.
Or d divise 7.
Conclusion: d divise 7 et 44
2 • Soit d un entier relatif non nul qui divise 7 et 44.
Il existe k et k ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :
7 = d k
44 = d k '
Donc Donc : 7 y + 44 = d k y + d k ' = d ( k y + k ' )
k y + k ' est un entier relatif que l'on note k' '.
On peut dire :
Il existe k' ' dans l'ensemble des entiers relatifs tels que :
7 y + 44 = d k ' '
Donc 7 y+ 44 est un multiple de d
Comme d est non nul 7y + 44 est divisible par d.
Mais 15 x − 7 y = 44 c-à-d 15 x = 7 y + 44
Ainsi d divise 15 x.
Mais , comme d et x n'ont pas de facteurs premiers communs, d ne divise pas x.
d doit diviser 15.
Or d divise 7
Finalement d divise 15 et 7.
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