EX2 DV spé maths sept 2016

       EX2 DV          Spé maths                      sept 2016

      EXERCICE 2

            On considère les deux suites ( an  ) et  (  bn )  définies par:

                     a0 = 1     b0 = 0         

                     an + 1  =  14 an − 15 bn + 3              pour tout n dans IN

                     bn + 1 = 10 an  − 11 bn      

                 On notepour tout n dans IN :  

                                Matrice11

            1. Montrer que pour tout n dans IN , on peut écrire Un + 1 = A×Un + B 

                  où A est une matrice carrée d'ordre 2 et B une matrice que l'on précisera.

            2. Soit X une matrice colonne de type ( 2 , 1 ).

                  a. Montrer que A×X + B = X   ⇔ ( I2 − A )×X = B  où

                   I2     désigne la matrice unité d'ordre 2.

                  b. Monter que la matrice   I2 − A  est inversible et a pour inverse

                      la matrice N  telle que :

                                         Matrice12

                 c. Montrer que  A×X + B = X   ⇔ ​X = N × B  

                     Vérifier que: 

                                           Matrice13

            3. On pose, pour tout n dans IN,   Vn = Un − X .

                 a. Montrer que  Vn + 1 = A Vn   pour tout n dans IN.

                 b. En déduire par récurrence sur IN*, que  Vn = An V0   pour tout n dans IN*.                                                          

            4. On admet à présent que pour tout n dans IN*:

                   Matrice9           

                a. En déduire Vn  en fonction de n pour tout n dans IN*.

                b. En déduire  an et bn en fonction de n.

                     -----------------------------------------------------------------