SUITE DE LA FEUILLE D'EX sur les graphes probabilistes

               SUITE DE LA  FEUILLE  D'EXERCICES  sur les graphes probabilistes

     EXERCICE 3

       On note A l'état "habiter en centre ville" et B l'état "habiter en banlieue"

       Soit a n dans [ 0, 1 ]    et   bn dans [ 0 , 1 ] avec an + bn = 1  où n est dans IN.

       Un = ( an     bn  )  est l'état probabiliste l'année n.

       • Si un habitant habite la banlieue il y a une probabilité de 7 % qu'il change

       pour habiter en centre ville l'année suivante.

       • Si un habitant habite en centre ville il y a  une probabilité de 93 %

           pour qu'il y reste l'année suivante.

          L'année 0 on a 20 % des habitants en centre ville.

     1. Donner le graphe probabiliste.

          REPONSE:

     Rez14        

     2. Donner la matrice de transition M . 

            REPONSE:

                             Kj48po9m

     3. L'année 5 comment est répartie la population ?

              REPONSE:

               On a  l'état initial :            U0  = (   0,20     0,80 )

                On veut:    U5 = ( a5   b5 )

              On a :     U5 =     U0  x M5

                Hg4ty4iu7

                Ainsi :    U5 = ( 0,36     0,64 )

   4. Y a - t - il un état stable  U ?

               REPONSE:

               OUI. Comme la matrice de transition est d'ordre 2 et

               ne comporte aucun zéro il existe un état stable.

               Il n'est pas demandé ici.

                                    #########

            Pour l'obtenir li faut considérer U = ( a  b ) tel que

            U = U x M     avec  a + b = 1 et a et b dans [0 , 1 ]

            On considère :

           Sys45lo

     c-à-d

         Sys45lo14 1

    c-à-d

           Ds14fe78tz1

    c-à-d

              Ml49aemrv12

       c-à-d

             14lj7uty

      c-à-d

                  a = 0, 5   et b = 0,5

     L'état stable est :      U = (   0,5     0, 5    )

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