Arithmétique TS Spé math. Mai 2017
EXERCICE 1
On rappelle que " tout entier naturel n tel que n ≥ 2 admet au moins
un nombre premier comme diviseur ".
Soit A et B deux entiers naturels premiers entre eux.
Établir qu'il en est de même pour leur somme et leur produit c-à-d pour A + B et AB.
EXERCICE 2
Soit A et B deux entiers naturels non nuls et d = PGCD(A , B ).
Établir le résultat:
<< Il existe deux entiers A ' et B ' premiers entre eux tels que :
A = d×A ' et B = d×B ' >>
EXERCICE 3
Soit A et B deux entiers naturels non nuls tels que:
A + B = 72 et PGCD(A ,B ) = 9
Trouver tous les couples ( A , B ) possibles.
EXERCICE 4
Soit A et B deux entiers naturels non nuls.
Soit E un entier naturel non nul.
Établir l'équivalence:
( E | A+B et E | A2 − AB+ B2 ) ⇔ ( E | A+B et E | 3 AB )
EXERCICE 5
Soit n un entier naturel quelconque tel que n ≥ 5.
On pose a = n3 − n2 − 12 n et b = 2 n2 − 7 n − 4
1. Établir que a et b sont divisibles par n − 4 .
2. Montrer que 2 n + 1 et n sont premiers entre eux.
3. Montrer que tout diviseur commun de 2 n + 1 et n + 3 est
un diviseur de 5 .
4. Montrer que :
( 5 | n + 3 et 5 | 2 n +1 ) ⇔ 5 | n − 2
5. Suivant n trouver PGCD(a ,b) en fonction de n.
6. Pour n = 11 et pour n = 12 vérifier les résultats obtenus.
( 11 − 2 non multiple de 5 et 12 − 2 multiple de 5 )
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