INFO Devoir 3 22 nov 2016

             INFO DV  n°3                            du 22 novembre 2016     TS  spé maths

    EXERCICE 

         Partie A.    1. Graphe de trois sommets.

             Nati47

             b. Matrice de transition.

                    Nati65

       2. On a l'information  P0 = (   1     0    0 ).

         C'est l'état initial.

          a. Déterminons P2  .

            On a :   P2  = P 0  × T2   

           On obtient   P2  =   (   1    0    0   )  × T2  

                 Nati66

          c-à-d         P2  =   (     23 / 72         24 / 72       25 / 72  )      C'est la première ligne de T2

           Conclusion :           P2  =   (     23 / 72        1 / 3       25 / 72  )

          b. Calcul de T7  .

              On a :

                   Nati67

             Ainsi   P7  =  (  0,356         0,339      0,305  )               La première ligne de T7

                Conclusion :Le premier terme de P7  est 0,356. C'est la probabilité qu'il fasse beau au jour 7

              c'est-à-dire dans une semaine.

       Partie B

            Graphe probabiliste:

                               Nati68

                           Qn  =  (   un     vn   )     état le jour n.  (  n entier naturel quelconque. )

                              un     la probabilité d'avoir beau temps le jour n.

                              vn     la probabilité d'avoir mauvais  temps le jour n.

                               un  +   vn    = 1

                      1. Matrice de transition.T.

                                Nati69

                     2. On admet que Q0 = (   1   0 )  .  C'est l'état initial.

                  Calcul:   Q1 = Q0 × T      C'est la première ligne de T

                       Q1 = (    1 / 3     2 / 3  )

                    Calcul :     Q2 =  Q0 × T2    =  (  1    0 ) × T2 

                                        Nati70

                  On considère la première ligne de T2   .

                      Q2 =   ( 11 / 18    7 / 18  ) 

        3.   Soit n est dans IN.

      a. Relation    entre   Qn + 1 , Qn  et T.

             On a:      Qn + 1 = Qn   × T

       b. Justification de   Qn  = Q0 ×Tn    .

                Récurrence sur IN.

            • n = 0 

             On a bien:    Q0 = Q0 × T0     car  T0  = I

            •Soit n dans IN quelconque.

              Montrons que si    Qn = Q0 ×Tn   alors     Qn + 1 = Q0 ×Tn + 1   

             Considérons :     Qn = Q0 ×Tn   

            Alors :          Qn   × T   = Q0× Tn   ×T

          c-à-d                   Qn   × T   = Q0 ×Tn + 1     

               Mais                Qn + 1   =    Qn   × T

            d'où      Qn + 1 =   Q0 ×T n + 1   

            Conclusion: La formule est montrée  sur IN.

             4. On donne la matrice P.

                               Nanti71

                     a . P est inversible.

                      En effet :

                  det( P ) = 1× 9 −1×  ( − 8 )= 17   non nul

                     Calcul de P − 1   .

                                       Nanti73

                 b . Calcul de  D = P − 1 × T × P.

                      On a :

                          Nanti75

                Ainsi :

                            Nanti93

           D est bien une matrice diagonale.

                 c. Déduisons :   T = P× D× P− 1  .

                     On a:              D = P−1  × T × P

                Donc    P × D =  P ×   P−1  × T × P = I  × T × P  =  T × P

                d'où    P× D× P− 1   =   T × P× P − 1   = T × I  = T

             Conclusion :    T = P× D× P− 1  .

                Montrons que Tn  = P  × Dn  ×   P−1    par récurrence sur IN.

                     • n = 0 

                                T0 = P×  D0  × P−1  

                      car  T0   = I     et  P×  D0  × P−1  =  P× I  × P−1  =  P×  P−1  = I

                   on a l'égalité au rang 0

                  • Soit n dans IN quelconque.

                      Montrons que si   Tn = P×  Dn  × P−1   alors  Tn = P×  Dn  × P−1   

                      Considérons :              Tn = P×  Dn  × P−1    

                     Alors :       Tn  ×   T   = P×  Dn  × P−1  ×   T

                        Mais    T  =  P× D ×P−1

                      c-à-d    Tn + 1    = P×  Dn  × P−1  ×   P × D ×P−1  = P×  Dn  × I × D ×P−1   = P×  Dn  ×  D ×P−1  

                  c-à-d        Tn + 1    =  P×  Dn + 1 × P−1    

             Conclusion: Le résultat est prouvé.

       d. Donnons les coefficients de Tn .

              On a :        Tn = P×  Dn  × P−1     

            Cela permet d'avoir Tn  .

                Nanti91 

              c-à-d

                    Natti105

        • Donnons  Qn en fonction de n.

        On a : Qn =   ( 1   0 ) × Tn        et      Qn =  ( un     vn  )

        Donc Qn  est la première ligne de Tn  

          Nanti80     

            Ainsi :  

               Nanti100

             5. Calcul de u7  et u14   .

                      u7   =  0,528     probabilité qu'il fasse beau dans 7 jours

                     u14   =  0,529   probabilité qu'il fasse beau dans 14 jours

             6.a Etat stationnaire  Q = ( a  b ).

                    Il existe car T est d'ordre 2 sans 0.

                     On a  a et b dans [ 0 ; 1 ]   et a + b = 1

                    On a :   ( a   b ) =  ( a   b ) Q

                    On obtient le système :

                          a + b = 1 

                        a =  ( 1 / 3 ) a + ( 3 / 4 ) b

                       b = ( 2 / 3 ) a + ( 1 / 4 )b     ( redite de la précédente )

                        Ce qui se ramène à deux équations:

                               a + b = 1 

                             (  − 2 / 3 ) a + ( 3 / 4 )b = 0

                        c'est-à-dire 

                             a + b = 1

                            a =( 9 / 8 ) b

                          c-à-d

                           ( 17 / 8 ) b= 1

                            a = 9 / 8 b

                   Finalement      b = 8 / 17

                                                a = 9 / 17

                    Conclusion : Q =  ( 9 / 17      8 / 17 )   est l'état stable.

              b.Détermination de Q ' = ( u    v ) 

                         Comme    − <    − 5 / 12  < 1  on   a

                        lim (  − 5 / 12 )n  =  0

                       n → + ∞

                       Ainsi       lim un = 9 / 17        et    lim vn = 8 / 17     (  on peut détailler davantage ) 

                                          n → + ∞                        n → + ∞

                  Donc                  u = 9 / 17     et   v = 8 / 17 

                       Conclusion :   Q = Q '