INFO DV n ° 5 du 24 janvier 2017 TS spé maths.
EXERCICE 1 .
Etablir que 32n − 2n est divisible par 7 pour tout n dans IN.
REPONSE:
Soit n dans IN quelconque.
On a : 32n − 2n = ( 32 )n − 2n = 9n − 2n
On a aussi: 9 = 2 + 7
Donc : 9 ≡ 2 [ 7 ]
Puis : 9n ≡ 2n [ 7 ]
Ainsi : 9n − 2n ≡ 0 [ 7 ]
c-à-d 32n − 2n ≡ 0 [ 7 ]
Conclusion: 32n − 2n est divisible par 7 pour tout n dans IN.
EXERCICE 2:
Montrer que pour tout entier naturel n non divisible par 3
22n + 2n + 1 est divisible par 7
REPONSE:
Les restes possibles dans la division par 3 sont 0 ; 1 ; 2
Puisque n ne doit pas être divisible par 3 il y a plus que deux cas à considérer:
• cas: Il existe k dans IN tel que n = 1 + 3 k ( Le reste est 1 )
2n = 21 + 3 k = 2 × 23 k = 2 ×( 23 )k = 2 × 8k
Mais 8 ≡ 1 [ 7 ] car 8 = 1 + 7
Donc 8k ≡ 1k [ 7 ]
c-à-d 8k ≡ 1 [ 7 ]
Donc 2 × 8k ≡ 2 [ 7 ]
c-à-d 2n ≡ 2 [ 7 ]
Puis ( 2n )2 ≡ 22 [ 7 ]
c-à-d 22n ≡ 4 [ 7 ]
De plus 1 ≡ 1 [ 7 ]
Par sommation on a: 22n + 2n + 1 ≡ 4 + 2 + 1 [ 7 ]
c-à-d 22n + 2n + 1 ≡ 0 [ 7 ]
On a bien dans ce cas 7 qui divise 22n + 2n + 1
• cas: Il existe k dans IN tel que n = 2 + 3 k ( Le reste est 2 )
2n = 22 + 3 k = 22 × 23 k = 4 ×( 23 )k = 4 × 8k
Mais on a vu que 8k ≡ 1 [ 7 ]
Donc 4 × 8k ≡ 4 [ 7 ]
c-à-d 2n ≡ 4 [ 7 ]
Puis ( 2n )2 ≡ 42 [ 7 ]
c-à-d 22n ≡ 16 [ 7 ]
c-à-d 22n ≡ 2 [ 7 ]
De plus 1 ≡ 1 [ 7 ]
Par sommation on a: 22n + 2n + 1 ≡ 2 + 4 + 1 [ 7 ]
c-à-d 22n + 2n + 1 ≡ 0 [ 7 ]
On a bien dans ce cas aussi 7 qui divise 22n + 2n + 1
Conclusion: Le résultat est prouvé.
EXERCICE 3
Soit A = n ( n + 1 ) / 2 où n est un entier naturel quelconque.
Donner le reste de la division de A par 3 .
REPONSE:
On veut l'entier r tel que: n ( n + 1 ) / 2 ≡ r [ 3 ] avec 0 ≤ r < 3
c-à-d en multipliant tout par 2 , y compris le modulo :
n ( n + 1 ) ≡ 2 r [ 6 ] avec 0 ≤ r < 3
( C'est équivalent car le modulo a été multiplié par 2 aussi )
On va discuter suivant le reste de la division de n par 6.
Les restes possibles dans la division par 6 sont :
0 ; 1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5
Faisons un tableau :
| n ≡0 [6] | n ≡1 [6] | n ≡2 [6] | n ≡3 [6] | n ≡4 [6] | n ≡5 [6] |
| n+1 ≡ 1 [6] | n+1 ≡ 2 [6] | n+1 ≡ 3 [6] | n+1 ≡4 [6] | n+1 ≡ 5 [6] | n+1 ≡ 0 [6] |
| n(n+1)≡0[6] | n(n+1)≡2[6] | n(n+1)≡0[6] | n(n+1)≡0[6] | n(n+1)≡2[6] | n(n+1)≡0[6] |
| n(n+1)/2≡0[3] | n(n+1)/2≡1[3] | n(n+1)/2≡0[3] | n(n+1)/2≡0[3] | n(n+1)/2≡1[3] | n(n+1)/2≡0[3] |
0 ≤ 0 < 3 et 0 ≤ 1 < 3
Conclusion:
•Quand le reste de la division de n par 6 est 1 ou 4 alors la reste de la division de A par 3 est 1.
•Dans les autres cas Le reste de la division de A par 3 est nul.
EXERCICE 4
Soit B = 32 48
Donner les reste de la division de B par 7
REPONSE:
• On a : 32 = 4 + 4 × 7
Ainsi : 32 ≡ 4 [ 7 ]
Donc : 3248 ≡ 448 [ 7 ]
On cherche donc le reste de la division de 448 par 7
• Cherchons le plus petit entier naturel non nul k tel que
4k ≡ 1 [ 7 ]
On fait des essais:
♦ k = 2 42 = 16 Donc 42 ≡ 2 [ 7 ] ça ne convient pas
♦ k = 3 42 × 4 ≡ 2 × 4 [ 7] en multipliant par 4
c-à-d 43 ≡ 8 [ 7]
c-à-d 43 ≡ 1 [ 7] k = 3 convient
On va considérer la division de 48 par 3.
48 = 3 × 16 + 0
On a donc : ( 43 )16 ≡ 116 [ 7 ]
c-à-d 43×16 ≡ 1 [ 7 ]
c-à-d 448 ≡ 1 [ 7]
Ainsi les deux congruences 3248 ≡ 448 [ 7 ] et 448 ≡ 1 [ 7]
montrent que: 3248 ≡ 1 [ 7 ] avec 0 ≤ 1 < 7
Conclusion : Le reste de la division de B par 7 est 1
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Partie facultative.
Soit A = 1x5y4 un entier naturel écrit en base 6.
x et y sont dans l'ensemble { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 }.
On rappelle que : A = 1 × 64 + x × 63 + 5 × 62 + y × 6 + 4
1. Trouver les couples ( x , y ) tels que A soit divisible par 35.
REPONSE:
On a : A = 1 × 64 + x × 63 + 5 × 62 + y × 6 + 4
c-à-d A = 1480 + 216 x + 6 y
c-à-d A = 2 ( 740 + 108 x + 3 y ) ( A est donc pair )
2 et 35 sont premiers entre eux .
Le problème est de trouver x et y dans { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 }
tels que 35 | ( 740 + 108 x + 3 y )
On a : 740= 35 × 21 + 5
108 = 35 ×3 + 3
Ainsi: A= 2 ( 5 + 35 × 21 + 35 × 3 x + 3 x + 3 y )
c-à-d A= 2( 35 ( 21 + 3 x ) + 3 ( x + y ) + 5 )
Donc A est divisible par 35 si et seulement si 3( x + y ) + 5 est divisible par 35
Mais 35 = 5 × 7 et 5 et 7 sont premiers entre eux.
D'où : A est divisible par 35 si et seulement si
5 | 3 ( x + y ) + 5 et 7 | 3 ( x + y ) + 5
c-à-d 5 | 3 ( x + y ) et 7 | 3 ( x + y ) + 5 comme 5 | 5
c-à-d 5 | x + y et 7 | 3 ( x + y ) + 5 sachant que 5 et 3 sont premier entre eux
Cherchons déjà les couples ( x , y ) avec x et y dans { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 } tels que 5 divise x + y.
Faisons un tableau :
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Déjà les seuls couples acceptables pour la première condition sont:
( 0 ; 5 ) , ( 5 ; 5 ) , ( 4 ; 1 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 3 ; 2 ) ,( 2 ; 3 ) , ( 5 ; 5 )
• Pour chacun des couples ( 0 ; 5 ) , ( 4 ; 1 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 3 ; 2 ) ,( 2 ; 3 )
3 ( x + y ) + 5 = 3 × 5 + 5 = 20 non divisible par 7
Ces couples sont refusés.
• Pour le couple ( 5 ; 5 ) :
3( x + y ) + 5 = 3 × 10 + 5 = 35 qui est bien divisible par 7
Le couple ( 5 ; 5 ) est accepté.
Conclusion: Une seule possibilité ( x , y ) = ( 5 , 5 )
A = 15554 dans le système de base 6 pour être divisible par 35
Alors A = 2590 dans le système décimal
2. Trouver les couples ( x , y ) tels que A soit divisible par 70.
REPONSE:
70 = 2 × 35
Comme 2 et 7 sont premiers entre eux A est divisible par 70 ssi 35 | A et 2 | A
Or on a vu que A est divisible par 2 car c'est un multiple de 2.
Pour être divisible par 35 on est obligé de prendre x = y = 5 comme vu dans la question n°1
Conclusion: Seulement pour ( x , y ) = ( 5 , 5 ) A est divisible par 70
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