DV n°6 Mardi 28 février 2017 TS spé Math.
EXERCICE 1.
1. Établir que 11 | 3n + 5 − 3n pour tout n dans IN.
2. Déterminer tous les diviseurs de 144.
3. Quel est le reste de la division de 27 2004 par 13 ?
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REPONSE:
1. Montrons que: 11 | 3n + 5 − 3n pour tout n dans IN.
On a : 3 5 − 30 = 3 5 − 1 = 242 = 22 × 11
Donc: 3 5 − 1 ≡ 0 [ 11 ]
Ainsi : 3n ( 3 5 − 1 ) ≡ 3n × 0 [ 11 ]
c-à-d 3n + 5 − 3n ≡ 0 [ 11 ]
Conclusion : 11 | 3n + 5 − 3n pour tout n dans IN.
2. Déterminons tous les diviseurs de 144.
On a la décomposition de 144 en facteurs premiers:
144 = 24 × 32
Les diviseurs de 144 sont de la forme: 2 k × 3 t
où k décrit l'ensemble { 0,1,2,3,4 } et t décrit l'ensemble { 0,1,2}.
Il y a cinq k possibles et trois t possibles.
Ainsi il y a 5 × 3 = 15 diviseurs de 144 dont 1 et 144.
On peut faire un arbre.
20 × 30 = 1 21 × 30 = 2 22 × 30 = 4 23 × 30 = 8 24 × 30 = 16
20 × 31 = 3 20 × 32 = 9
21 × 31 = 6 21 × 32 = 18
22 × 31 = 12 22 × 32 = 36
23 × 31 = 24 23 × 32 = 72
24 × 31 = 48 24 × 32 = 144
Conclusion: Les diviseurs de 144 sont:
1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 36 48 72 144
3. Donnons le reste de la division de 272004 par 13.
On a : 27 = 2 × 13 + 1
Donc 27 ≡ 1 [ 13 ]
Ainsi: 272004 ≡ 12004 [ 13 ]
c-à-d
272004 ≡ 1 [ 13 ] avec 0≤ 1 < 13
Conclusion: Le reste est 1
EXERCICE 2.
Établir qu'il existe au moins deux entiers relatifs u et v tels que :
13 u − 23 v = 1
Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide deux de ces entiers.
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REPONSE:
• On a : ( 13 , − 23) ≠ ( 0 , 0 )
13 et − 23 sont deux entiers relatifs.
Donc, d'après le cours, il existe au moins deux entiers relatifs u et v tels que
13 u − 23 v = PGCD(( 13 , − 23)
or PGCD( 13 , 23) = 1
Donc: 13 u − 23 v = 1
Conclusion:
Il existe au moins deux entiers relatifs u et v tels que :
13 u − 23 v = 1
( On peut aussi invoquer directement le th de Bezout carPGCD( 13 , 23) = 1)
• Trouvons deux entiers relatifs u et v qui conviennent.
Algorithme d'Euclide.
23 = 13 × 1 + 10
13 = 10 × 1 + 3
10 = 3 × 3 + 1
3 = 1 × 3 + 0
Considérons : 10 = 3 × 3 + 1
c-à-d 1 = 10 − 3 × 3
Or 3 = 13 − 10 × 1
D'où 1 = 10 − ( 13 − 10 × 1 ) × 3
c-à-d 1 = 4 × 10 − 3 × 13
Or 10 = 23 − 13 × 1
D'où 1 = 4 × ( 23 − 13 × 1 ) − 3 × 13
c-à-d 1 = 4 × 23 − 7 × 13
c-à-d enfin 13 × ( − 7 ) − ( − 4 ) × 23
Conclusion: u = − 7 et v = − 4 conviennent.
EXERCICE 3
Soit n un entier naturel.
1. Établir l'équivalence: 5 | n2 − 3 n + 6 ⇔ 5 | n2 − 3 n + 1
2. Établir l'équivalence: 5 | n2 − 3 n + 1 ⇔ n ( n − 3 ) ≡ 4 [ 5 ]
3.Trouver alors tous les entiers naturels n tels que 5 | n2 − 3 n + 6
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REPONSE: n est un entier naturel
1. Montrons l'équivalence demandée .
On peut le montrer avec n entier relatif.
5 | n2 − 3 n + 6
se traduit par n2 − 3 n + 6 ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d n2 − 3 n + 1 + 5 ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d n2 − 3 n + 1 ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d 5 | n2 − 3 n + 1
Conclusion: L'équivalence est avérée.
2.Montrons l'équivalence demandée.
On peut le montrer avec n entier relatif.
5 | n2 − 3 n + 1
s'écrit n2 − 3 n + 1 ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d n ( n − 3 ) ≡ − 1 [ 5 ]
c-à-d n ( n − 3 ) ≡ − 1 + 5 [ 5 ]
c-à-d n ( n − 3 ) ≡ 4 [ 5 ]
Conclusion: L'équivalence est avérée.
3. Trouvons les entiers naturels n tels que 5 | n2 − 3 n + 6 .
c-à-d ceux tels que n ( n − 3 ) ≡ 4 [ 5 ]
Considérons d'abord n entier relatif.
Les restes de la division de n par 5 sont 0 ; 1 ; 2 ; 3; 4
Faisons un tableau.
| reste de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| reste de la division de n − 3 par 5 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| reste de la division de n( n −3 ) par 5 | 0 | 3 | 3 | 0 | 4 |
Ainsi: Le reste de la division de n( n −3 ) par 5 est 4
quand n ≡ 4 [ 5 ]
Conclusion: S = { 4 + 5 k / k dans IN }
EXERCICE 4.
Soit : a = 3 n + 1
b = 2 n + 3 où n est un entier naturel non nul
Soit PGCD( a , b ) ≠ 1
Établir que PGCD( a , b ) = 7 .
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REPONSE:
On a : n est un entier naturel non nul
On a : a = 3 n + 1 × ( − 2 )
b = 2 n + 3 × ( 3 )
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− 2 a + 3 b = − 2 ( 3 n + 1 ) + 3 ( 2 n + 3 ) = − 2 + 9 = 7
c-à-d − 2 a + 3 b = 7
Tout diviseur commun de a et b divise − 2 a + 3 b
c'est-à-dire divise 7.
PGCD(a , b ) ne peut donc être que 1 ou 7
sachant que 7 est un entier premier.
Mais PGCD(a , b ) ≠ 1
Conclusion PGCD(a , b ) = 7
EXERCICE 5.
Soit a un entier relatif tel que 5 a ≡ 10 [15 ] .
1. A-t-on a ≡ 2 [ 15 ] ?
2. Déterminer les entiers relatifs a tels que 5 a ≡ 10 [15 ]
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REPONSE:
1. Regardons si a ≡ 2 [ 15 ] .
NON. En effet
On sait que : 5 a ≡ 10 [15 ]
c-à-d
Il existe un entier relatif k tel que 5 a = 10 +15 k
c-à-d Il existe un entier relatif k tel que 5 ( a − 2 ) = 15 k
c-à-d Il existe un entier relatif k tel que 5 ( a − 2 ) = 15 k
Rien ne nous autorise à dire que k est divisible par 5
Par contre 15 est divisible par 5 et on peut écrire:
Il existe un entier relatif k tel que a − 2 = 3k
c-à-d a ≡ 2 [ 3 ]
Conclusion : On ne peut pas affirmer que a ≡ 2 [ 15 ]
2. Déterminons les entiers relatifs a tels que 5 a ≡ 10 [15 ]
On vient de voir que l'on avait la congruence qui
pouvait s'écrire a ≡ 2 [3 ]
Donc:
Conclusion : l'ensemble solution est { 2 + 3 k / k entier relatif }
EXERCICE 6.
Soit a un entier relatif tel que 5 a ≡ 15 [ 7 ] .
1. A-t-on 5 a ≡ 1 [ 7 ] ?
2. A-t-on 5 a ≡ 3 [ 7 ] ?
3. Déterminer les entiers relatifs a tels que 5 a ≡ 15 [ 7 ] .
4. Commentez l' exercice 5 et l'exercice 6.
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REPONSE:
Soit 5 a ≡ 15 [ 7 ] .
1.Regardons si 5 a ≡ 1 [ 7 ] ?
OUI.
On a: 5 a ≡ 15 [ 7 ]
c-à-d 5 a ≡ 2 × 7 + 1 [ 7 ]
c-à-d 5 a ≡ 1 [ 7 ]
2 .Regardons si 5 a ≡ 3 [ 7 ] ?
OUI. En effet :
On a : 5 a ≡ 15 [ 7 ]
c-à-d Il existe un entier relatif k tel que 5a = 15 + 7 k
c-à-d Il existe un entier relatif k tel que 5 ( a − 3 ) = 7 k
Donc : 5 divise 7 k
Mais: PGCD( 5 , 7 ) = 1
On en déduit ( Gauss ) que 5 doit diviser k
D'où: Il existe un entier relatif k' tel que k = 5 k '
Ainsi Il existe un entier relatif k' tel que 5 ( a − 3 ) = 7× 5 k '
c-à-d Il existe un entier relatif k' tel que a − 3 = 7 k '
c-à-d a ≡ 3 [ 7 ]
La réciproque est aussi vraie.
Si a ≡ 3 [ 7 ] alors 5 a ≡ 5 × 3 [ 7 ]
c-à-d
Si a ≡ 3 [ 7 ] alors 5 a ≡ 15 [ 7 ]
3. Déterminons les entiers relatifs a tels que 5 a ≡ 15 [ 7 ] .
On vient de voir que cela pouvait se traduire par: a ≡ 3 [ 7 ]
Conclusion: L'ensemble solution est { 3 + 7 k / k entier relatif }
4. Commentaire.
BILAN:
Soit a , b , c des entiers relatifs et m un entier naturel non nul.
Soit: ac ≡ bc [ m ]
• Si PGCD( c , m ) = 1 alors a ≡ b [ m ]
• Si PGCD( c , m ) ≠ 1 alors on ne peut pas en déduire a ≡ b [ m ]
Ce n'est pas un résultat directement utilisable avant le bac.
Mais il faut le connaitre pour éviter des affirmations abusives.
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