INFO Nombre de Mersenne. Nombre parfait TS Spé. maths.
EXERCICE 1:
On pose: Mn = 2n − 1 pour tout entier naturel non nul n
( NOMBRES DE MERSENNE )
1. Donner les entiers M1, M2 ,.... , M10 .
REPONSE:
M1 = 21 − 1 = 1 M6 = 26 − 1 = 63
M2 = 22 − 1 = 3 M7 = 27 − 1 = 127
M3 = 23 − 1 = 7 M8 = 28 − 1 = 255
M4 = 24 − 1 =15 M9 = 29 − 1 = 511
M5 = 25 − 1 = 31 M10 = 210 − 1 =1023
Conclusion : M1, M2 ,.... , M10 sont :
1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127 ; 255 ; 511 ; 1023
2. Conjecturer une condition sur n pour que: 3 | Mn .
REPONSE: M2 = 3 M4 = 15 = 3 × 5 M6 = 63 = 3 × 3× 7
M8 = 255 = 3 × 85 M10 = 1023 = 3 × 341
Conclusion: On peut conjecture que Mn est divisble par 3
quand n est un entier pair non nul.
3. Établir cette conjecture.
REPONSE:
Disjonction de cas:
• Soit n un entier naturel pair non nul.
Il existe un entier naturel p non nul tel que : n = 2p
On a : 22 = 1 + 3
Ainsi : 22 ≡ 1 [ 3 ]
Donc : ( 22 )p ≡ 1p [ 3 ]
c-à-d : 22p ≡ 1 [ 3 ]
c-à-d 22p − 1 ≡ 0 [ 3 ]
c-à-d M n ≡ 0 [ 3 ]
Donc 3 | M n
• Soit n un entier naturel impair .
Il existe un entier naturel p tel que : n = 2p +1
On a vu : 22p ≡ 1 [ 3 ]
Donc 2 × 22p ≡ 2 × 1 [ 3 ]
c-à-d 22p+1 − 1 ≡ 1 [ 3 ]
c-à-d Mn ≡ 1 [ 3 ] avec 0 ≤ 1 < 3
Le reste de la division de Mn par 3 est 1 donc non nul
Donc 3 ne divise pas Mn .
Conclusion: On a montré que Mn est divisible par 3
si et seulement si n est un entier naturel pair non nul.
4. Mn peut-il être pair ?
REPONSE:
NON. En effet:
Soit n est un entier naturel non nul.
On a : Mn = 2n −1
Donc : 1 = 2n − Mn
2n est pair car n est un entier naturel non nul.
Raisonnons par 'absurde:
Si Mn était pair alors 2n − Mn le serait aussi , donc 1 serait pair.
Absurde.
Conclusion: Pour tout entier naturel non nul Mn n'est pas pair.
5. Conjecture une condition sur n pour que: 5 | Mn .
REPONSE:
M4 =15 = 5 × 3 M8 = 255 = 5 × 51
Conclusion :
On peut conjecturer que Mn est divisible par 5 quand
n est un entier naturel on nul divisible par 4.
6. Etablir cette conjecture.
REPONSE:
• Soit n un entier naturel non nul divisible par 4.
Il existe p dans IN* tel que n = 4 p
On a : 24 = 16 = 1 + 5× 3
Ainsi : 24 ≡ 1 [ 5 ]
Donc ( 24 )p ≡ 1p [ 5 ]
c-à-d 24p ≡ 1 [ 5 ]
c-à-d 24p − 1 ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d M4p ≡ 0 [ 5 ]
c-à-d 4 | Mn
Ainsi on a montré que si l'entier naturel non nul n
est divisible par 4 alors Mn est divisible par 5.
• Soit n un entier naturel non nul non divisible par 4.
Il existe p dans IN tel que n = 4 p + r avec r dans { 1 ; 2 ; 3 }
On a vu que : 24p ≡ 1 [ 5 ]
Donc : 24p × 2 r ≡ 1× 2 r [ 5 ]
c-à-d 24p+ r ≡ 2 r [ 5 ]
c-à-d 2n ≡ 2 r [ 5 ]
c-à-d 2n − 1 ≡ 2 r − 1 [ 5 ]
c-à-d Mn ≡ 2 r − 1 [ 5 ]
Mais 2 r − 1 n'est pas un multiple de 5 quand r est dans { 1 ; 2 ; 3 }.
En effet: 2 1 − 1 = 1 2 2 − 1 = 3 2 3 − 1 = 7
1 ; 3 ; 7 ne sont pas des multiples de 5
Donc : Mn n'est pas divisible par 5.
Conclusion: On a montré que Mn est divisible par 5
si et seulement par n est un entier naturel non nul divisible par 4.
7. On considère également la suite récurrente ( un ) définie sur IN
définie par :
• u0 = 4
• un + 1 = un2 − 2 pour tout entier naturel n
On admet le th. d'un mathématicien Lucas suivant:
<< Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 2 :
Mn est premier si et seulement si Mn | un − 2 >>
A-t-on M5 qui est premier d'après ce th. ?
REPONSE:
5 ≥ 2
M5 = 31
On a d'après Lucas: M5 premier ⇔ M5 | u5 − 2
On a : u5 − 2 = u3
Donc : M5 premier ⇔ M5 | u3
On a : u1 = u0 2 − 2 = 42 − 2 = 14
u2 = u1 2 − 2 = 142 − 2 = 194
u3 = u2 2 − 2 = 1942 − 2 = 37634
Or 37634 = 31 × 1214
Ainsi : M5 | u3
Cela signifie que M5 est premier c-à-d 31
est premier d'après l'équivalence.
Conclusion : M5 est premier
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EXERCICE 2
Un entier naturel n est dit parfait quand la somme de ses
diviseurs dans IN* est égale à 2 n .
Par exemple: Soit n = 6 n est dans IN.
n = 2 × 3
Les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6
Or 1 + 2 + 3 + 6 = 12
et 12 = 2 × 6
6 est donc un nombre parfait.
Un résultat du Mathématicien Euclide dit:
<< Soit n un entier naturel . Soit Mn + 1 = 2n + 1 − 1
Alors:
2n + 1 − 1 est premier ⇒ 2n Mn + 1 est parfait >>
1. Les entiers naturels 8 , 10 , 26 sont-ils parfaits ?
REPONSE :
• Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8
1 + 2 + 4 + 8 = 15 et 8 × 2 =16
Comme 15 ≠ 16 8 n'est pas parfait
• Les diviseurs de 10 sont: 1 ; 2 ; 5 ; 10
1 + 2 + 5 +10 = 18 et 10 × 2 = 20
Comme 18 ≠ 20 10 n'est pas parfait
• Les diviseurs de 26 sont : 1 ; 2 ; 13 ; 26
1+2+13+26 = 42 et 26 × 2 = 52
Comme 42 ≠ 52 26 n'est pas parfait
2. On considère M5 = 24 + 1 − 1
Donner alors un nombre parfait , en utilisant la dernière
question de l'exercice 1. et le résultat d'Euclide.
REPONSE:
On sait à présent que M5 est premier.
C'est-à-dire 24 + 1 − 1 est premier.
Donc d'après le résultat admis on a : 24 M4 +1 parfait.
24 M4 +1 = 16 × 31 = 496
Conclusion : 496 est un nombre parfait
3. On veut expliquer le résultat d'Euclide.
On pose A = 2n Mn + 1 . On suppose Mn + 1 que est premier.
On veut savoir si A est parfait.
a. Donner tous les diviseurs de 2n , puis ceux de A.
REPONSE:
Les diviseurs de 2n sont: 1 , 2 , ... ,2n
Donc ceux de A = 2n Mn + 1 sont :
Conclusion: 1 , 2 , ... ,2n et aussi 1Mn + 1 , 2Mn + 1 , ... ,2n Mn + 1
b. Montrer que leur somme est S= (2n+1 − 1 ) 2n + 1
REPONSE:
Leur somme est S :
S = 1 + 2+ ... + 2n + 1 Mn + 1 + 2Mn + 1 + ... +2n Mn + 1
c-à-d
S = 1 + 2+ ... + 2n + Mn + 1 ( 1+ 2 + ... +2n )
c-à-d
S =( 1 + Mn + 1 )( 1+ 2 + ... +2n )
c-à-d
S =( 1 + 2 n+1 − 1 )( 1− 2n+1 ) / (1 − 2 ) 2 distinct de 1
c-à-d
S = 2 n+1 ( 2n+1 − 1 )
Conclusion: On a bien le résultat.
c. Comparer S et 2 A.
Conclure.
REPONSE:
On a : 2 A = 2× 2n Mn + 1 = 2n+1 Mn + 1
c-à-d 2 A = 2n+1 Mn + 1 = 2n+1 ( 2n + 1 − 1 )
c-à-d 2 A = S
La somme des diviseurs de A est égale au double de A.
A est donc parfait.
c-à-d 2n Mn + 1 est parfait
Conclusion : En supposant Mn + 1 premier
on a montré que 2n Mn + 1 est parfait.
On a donc montré l'implication d'Euclide:
2n + 1 − 1 est premier ⇒ 2n Mn + 1 est parfait
pour tout entier naturel n