INFO TEST 22 novembre 2016

                     INFO    TEST n°4   22 novembre 2016 

          Man11 1

         Man12 1

         Man13

                    Nanti109

         En effet :

            On a :

            P ( Xn+1 = 1 ) = P ( (Xn+1 = 1) ∩ (Xn = 0) ) + P( (Xn+1 = 1) ∩ (Xn = 1) ) + P( (Xn+1 = 1) ∩ (Xn = 2) )

          et      ( Xn = 0 ) , ( Xn = 1 ) et ( Xn = 2 ) étant disjoints deux à deux .

        Finalement    P (Xn+1 = 1) = 1 × P  (Xn = 0)  +  ( 1 / 2 )× P(Xn = 1) +  1× P(Xn = 2)

                   Conclusion:     P( X n + 1  = 1 ) =   P( X n  = 0 )   +  P( X n  = 1 )  ( 1 / 2 ) +  P( X n  = 2 )

    2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

          Rn = (    P (Xn = 0)      P (Xn = 1)       P (Xn = 2)    )

            et on considère M la matrice

                /        0       1        0     \

               |       1/4    1/2    1/4      |

                \        0     1        0        /

       On note R0 la matrice ligne  (   0    0    1   )

       On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n,    Rn+1 = Rn × M.

        Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n,  Rn = R0 × Mn

          REPONSE:

.    •  Comme     R1 = R0 × M    c-à-d     R1 = (  0  0  1  ) × M  

            R1    correspond à la troisième ligne de M.

           Ainsi :       R1   = ( 0      1    0   )

     •  On  remarque au passage que :   R0 = R0 × M0        car     M0  = I 

    •  Faisons une récurrence sur IN*  ( On pouvait récurrer sur IN )

               ♦  n = 1

                On a :     R1 = R0 × M    donc    R1 = R0 × M1

                      C'est vrai pour n  = 1

               ♦  Soit n un entier naturel non nul quelconque.

                 Montrons que si   Rn = R0 × Mn   alors Rn + 1 = R0 × Mn + 1

                 Considérons :    Rn = R0 × Mn     

                  Alors            Rn  × M = R0 × Mn  × M 

                 c-à-d             Rn  × M = R0 × Mn + 1    

                Mais                Rn  × M =  Rn+1

                D'où                       Rn+1   = R0 × Mn + 1    

            Conclusion:   le résultat est prouvé  sur IN*  mais aussi pour n = 0.

  Man16

     Faisons une récurrence sur IN .

    •n = 0

            M0 = I     et     P× D0 ×  P − 1  = P× I× P − 1   =  P ×  P − 1 = I

        Donc     M0 =    P × D0 × P − 1  

        L'égalité est vraie pour n = 0

      • Soit n dans IN quelconque.

         Montrons que si  Mn = P × Dn ×P − 1  alors    Mn + 1 = P × Dn + 1 × P − 1

           Considérons :     Mn =  P× Dn ×  P − 1

          Alors :                     Mn  × M    =  P× Dn ×  P − 1  × M

             Mais     M = P × D ×  P − 1    d'après l'énoncé

             Donc       Mn + 1  =   P× Dn ×  P − 1  × P× D ×  P − 1    

           c-à-d       Mn + 1  =   P× Dn × I × D ×  P − 1  

            c-à-d       Mn + 1  =   P× Dn × D ×  P − 1   

             c-à-d       Mn + 1   =  P × Dn + 1 ×  P − 1  

           Conclusion : Le résultat est prouvé sur IN

    4. a. Calcul de Dn  ×  P − 1   en fonction de n.

            On a :

                 Man17

      Mais :     − 2 × (  − 1 / 2 )n   =    − 2 ×  (  − 1 / 2 ) × (  − 1 / 2 )n − 1  = (  − 1 / 2 )n − 1

       Conclusion:

               Man19

       b. Sachant que  R0 × P = (   1 / 3     − 1 / 2       1 / 6 )   , déterminer les coefficients de  Rn     en fonction de n.

             On sait que  Rn    = R0 × Mn  

               Or      Mn =  P× Dn ×  P − 1

       Donc     Rn    = R0 ×  P×  Dn ×  P − 1  

      Ainsi      Rn    =  R0 × P × Dn  ×  P − 1  

      En remplaçant le premier produit et le second produit il vient:

        Nanti106

   Conclusion : 

         107

            Man22

         D'après le résultat pour Rn  on a :

                 P( Xn = 0 ) = ( 1 / 3) ( −  1 / 2 )n  +  ( 1 / 6 )

                 P( Xn = 1 ) =  ( 1 / 3) (  − 1 / 2 )n − 1  +  ( 4 / 6 ) =  ( 1 / 3) (  − 1 / 2 )n − 1  +  ( 2 / 3 )

                   P( Xn = 2 ) =  ( 1 / 3) ( − 1 / 2 )n +  ( 1 / 6 )

               Mais   − 1  < ( − 1 / 2 ) < 1  

            Donc       lim ( − 1 / 2 )n     =  lim ( − 1 / 2 )n − 1  = 0

                           n → + ∞                     n → + ∞

           D'où:     lim    P( Xn = 0 ) = lim    P( Xn = 2 ) = lim[  ( 1 / 3) ( − 1 / 2 )n +  ( 1 / 6 ) ] = 1 / 6

                             n → + ∞                     n → + ∞                n → + ∞

           et    lim    P( Xn = 1 ) = lim [   ( 1 / 3) (  − 1 / 2 )n − 1  +  ( 2 / 3 )  ] = 2 /3

                     n → + ∞                     n → + ∞  

            Conclusion:            

             lim    P( Xn = 0 ) = lim    P( Xn = 2 )  = 1 / 6

                  n → + ∞                     n → + ∞    

                lim    P( Xn = 1 )  = 2 /3

                     n → + ∞  

     Interprétation:  

     Pour n grand:

      La probabilité que l'urne U ait deux boules noires est 1 /6.

     La probabilité que l'urne U ait deux boules blanches  est 1 / 6.

       La probabilité que l'urne U ait  une boule blanche et une boule noire est 2 /3

--------------------------------------------------------------------------------------------