INFO TEST 3 mardi 8 nov 2016 spé math

                       INFO TEST n° 3   TS  spé maths   Mardi 8 novembre 2016

          EXERCICE        5 points

                       Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

        On considère les matrices :

   Nati1

        On dit que la matrice M est diagonalisable s'il existe une matrice  P inversible ,

        appelée matrice de passage, et une matrice diagonale D telles que:

             M = P × D × P − 1         ( P − 1    étant la matrice inverse de P )  .

        On peut noter D = diag( 1 ;  0,3 )

        Soit la matrice ligne Q = ( a   b  )   telle que a et b soient deux réels de

        l'intervalle [ 0 , 1 ] tels que a + b  = 1.

    1. a.Trouver la matrice inverse P − 1 de la matrice P.

             REPONSE :    En effet :   det( P )  = − 7  non nul 

                             Nati3

        b. Montrer que la matrice M est diagonalisable.

            REPONSE : 

                On a :

                  Nati4

            Conclusion : M est diagonalisable.

    2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n non nul  on a :

                     Mn = P × Dn × P − 1  

         En déduire que :

                                    Nati2

              REPONSE:

            Faisons une récurrence sur IN*    pour montrer     Mn = P × Dn × P − 1   

           ♦ n= 1

                On vient de voir que :   M = P × D × P − 1  

                c-à-d         M1 = P × D1 × P − 1  

              La formule est vraie pour n = 1

           ♦ Soit n un entier naturel quelconque non nul.

                   Montrons que si    Mn = P × Dn × P − 1      alors    Mn + 1 = P × Dn + 1 × P − 1  

                 Considérons    Mn = P × Dn × P − 1  

                    Alors       Mn × M = P × Dn × P − 1  × M

               Mais         Mn × M =   Mn + 1          et   M = P × D × P − 1  

               Donc:      Mn + 1     =  P × Dn × P − 1  × P × D × P − 1  

         c-à-d         Mn + 1     =  P × Dn ×  I × D × P − 1  =  P × Dn × D × P − 1  

                c-à-d                       Mn + 1      = P × Dn + 1  × P − 1

                           Conclusion: Le résultat est avéré sur IN* .

          Déduisons l'égalité demandée.

              Nati8        

           Conclusion:   On a bien :

                                          Nati2

      3. On considère la matrice  Qn = Q0 × Mn      où    Q0 = ( 0   1 ).

        a. Trouver la matrice ligne Q1 .

                 REPONSE

                Q1 = Q0 × M  =  ( 0   1  ) × M       (  ça revient à considérer  la seconde ligne de M  )

                  Q1  = ( 0,2     0,8 )

        b . Trouver la matrice  Q5 .

                REPONSE:

                Q5  =  Q0 × M5     =  ( 0     1 ) × M5       (  ça revient à considérer  la seconde ligne de M5  )

            Or :  

                         Nati5

           Donc :

                    Q5  =  (  0,3    0,7 )   

    4. On pose:   Qn = ( an     bn   ) 

         a.   Exprimer  an  et   bn     en fonction de n.

              REPONSE :

                            On a :               Qn = Q0 × Mn  =   (  0     1 ) × Mn  

                        c-à-d                        ( an     bn   ) =   (  0     1 ) × Mn          (  ça revient à considérer  la seconde ligne de Mn  )

                      Donc  :    

               Nati13   

         b.  Trouver les limites des suites ( an  )   et  (   bn   ). 

                    On a:     − 1 < 0,3  < 1  

              Donc      lim  0,3n = 0

                            n → + ∞

              D'où:                  lim [  ( 2 / 7 ) − ( 2 /  7 ) × 0,3n    ] = 2 / 7 

                                              n → + ∞

              et             lim [  ( 5 / 7 ) + ( 2 /  7 ) × 0,3n    ] = 5 / 7

                                  n → + ∞

              Conclusion:         lim an  = 2 / 7

                                                  n → + ∞                                            

                                             lim bn  = 5 / 7

                                                  n → + ∞

    5. On veut si possible trouver la matrice Q telle que  Q = Q × M .

       a. L'égalité   Q × ( I  − M ) = ( 0   0 )    où  I est la matrice unité d'ordre 2

             permet-elle de trouver Q ?

          REPONSE:

             Non. Le déterminant de la matrice I  − M  est nul.

               I  − M  n'est donc pas inversible. On ne peut pas isoler Q.

       b. Déterminer Q  en résolvant  un système d'inconnues a et b, à deux équations,

             dont  a + b = 1.         ( On donnera  a et b sous forme fractionnaire )

        • Déjà l'égalité Q = Q M   équivaut à 

             Nati10   

         •  Mais a + b = 1.

     Donc considérons le système :

                  Nati12

           On a trouvé :

              Conclusion:      Q =  (   2 / 7       5 / 7  )

    6 . Que peut - on remarquer ici pour  la suite (  Qn ) ?

            ( La matrice Q obtenue est appelée "état stable" . Il ne dépend pas de n )

           Réponse :

           Conclusion:

             La suite   (  Qn )   tend vers Q quand n tend vers + ∞ .

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