INFO TEST 5 10 janvier 2017

                           INFO  TEST  5   du mardi 10 janvier 2017        TS      Spé maths.

   EXERCICE 

                 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

    On pourra utiliser le résultat suivant dans la partie B:

     <<  Soit m,n,p des entiers relatifs avec m non nul.

    Si  m divise le produit np et que le plus grand commun diviseur de m et n est 1 alors m divise p   >>

        Les parties A , B  et C sont indépendantes.

     Partie A          (  diviseurs )

         1.  On pose:   a = n + 1   et  b = n    où  n un entier naturel non nul quelconque.

            a. Calculer a − b. 

                On a :      a − b = n + 1 −  n  = 1

                 Conclusion :   a − b = 1

            b. Si un entier naturel, non nul, d divise a et b alors que peut-on dire de d ?

                 Si un entier naturel, non nul, d divise a et b alors d diviserait  a − b  

                Donc d  diviserait 1.

                 Conclusion:   d serait 1

            c. Quel est donc le plus grand commun diviseur de a et b ?

               Le plus grand commun diviseur de a et b ne peut être que  d = 1.

                 Conclusion: le plus grand commun diviseur de a et b est 1

        2. Soit   A = 2 n ³  + 5 n²  + 4 n + 1    et   B = 2 n²  + n  

                  où  n un entier naturel non nul quelconque.

           a. Montrer que 2 n + 1  divise A et B.  ( On pourra poser la division de A par 2 n + 1.)

              • On a :  B = n (  2 n + 1 )

                 2 n + 1 n'est pas nul car n est un entier naturel.

                Conclusion: 2 n + 1 divise B.

               •  On peut poser la division de A par 2 n + 1.

                 Il vient   A = ( 2 n + 1 ) ( n² + 2 n + 1 )   

                   2 n + 1 n'est pas nul car n est un entier naturel.

                   Conclusion: 2 n + 1 divise A.

           b.  n peut-il diviser A ? n divise-t-il  B ?

               n qui est un entier non nul.

               Il divise déjà  2 n³ + 5 n² + 4 n    car   2 n³ + 5 n² + 4 n = n (  2 n² + 5 n + 4  )  .

               Donc il divise A ssi il divise la différence A − (  2 n³ + 5 n² + 4 n  )

                  Or    A − (  2 n³ + 5 n² + 4 n  ) = 1

                 Donc n  divise A quand il divise  1.

                 Conclusion: Ce n'est possible que si n = 1

           c. Donner les formes factorisées de A et B.

                On vu que :   B = n ( 2 n + 1 )

                De plus : A = ( n² + 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 )     Mais   n² + 2 n × 1 + 1² = ( n + 1 )²

              Ainsi :    A = ( n + 1 )² ( 2 n + 1 )

      Partie B     (   congruences   )

        Pour chacune des trois affirmations suivantes indiquer ( en justifiant )

        si elle est vraie ou fausse.

        Soit n un entier relatif.

       1.       n ≡ 1  [ 5 ]   ⇒    n + 47 ≡ 1 + 47  [ 5 ]

              REPONSE:

                On part de :  ∃ k ∈ ℤ    /     n = 1 + 5 k 

               Donc :   ∃ k ∈ ℤ    /     n + 47 = 1 + 47 + 5 k  

                 ( sachant qu'on a le droit d'ajouter 47 aux deux membres d'une égalité)

             c-à-d     n + 47 ≡ 1 + 47  [ 5 ]

              Conclusion: L'implication est avérée.

   ( Ainsi on voit qu'on a le droit d'ajouter un même entier relatif aux deux membres d'une congruence )

       2.       (   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]   ) ⇒ (  n − 11 ≡ 0  [ 5 ]   et  n − 11 ≡ 0  [ 4 ]  )

              REPONSE:

                   On part de   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]

      Donc:       n − 11 ≡ 1 − 11  [ 5 ]   et    n − 11 ≡ 3  − 11  [ 4 ]  

               (  sachant qu'on peut ajouter − 11  aux deux membres des congruences )

        c-à-d           n − 11 ≡  − 10  [ 5 ]   et    n − 11 ≡  − 8  [ 4 ]  

        c-à-d            n − 11 ≡ 0  [ 5 ]   et  n − 11 ≡ 0  [ 4 ]  

             sachant que  − 10  est un multiple de 5 et  − 8  est un multiple de 4

              Conclusion: Le résultat est avéré.

       3.       (   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]   ) ⇒ (  ∃ k ∈ ℤ    /     n = 11 + 20 k )

             REPONSE:

             On part de   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]

             D'après la question précédente, cela implique que    n − 11 ≡ 0  [ 5 ]   et  n − 11 ≡ 0  [ 4 ]  

             Donc:      ∃ k ∈ ℤ    /    n − 11 =  5 k    et   4 divise n − 11

           Comme 4 divise 5 k  et que le plus grand diviseur commun de 4 et 5 est 1 ,

           on a 4 qui divise k.

              Ainsi:     ∃ k ' ∈ ℤ    /   k  = 4 k '

            On peut dire :   ∃ k ' ∈ ℤ     /    n − 11 = 5  × 4 k '

             c-à-d       ∃ k ' ∈ ℤ   /    n − 11 = 20 k '

             c-à-d      n  ≡ 11  [ 20 ]

                Conclusion : L'implication est avérée.

     Partie C        ( graphes probabilistes  )

           Un automate peut se trouver dans deux états A ou B.

          A chaque seconde, il peut, soit rester où il se trouve, soit en changer,

          avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

          Pour tout entier naturel n , on note a_n la probabilité que l'automate se trouve

         dans l'état A après n secondes et b_n la probabilité que l'automate

         se trouve dans l'état B après n secondes.

          Au départ l'automate est dans l'état B.

        On considère l'algorithme suivant:

     Pour chacune des deux affirmations suivantes indiquer ( en justifiant )

     si elle est vraie ou fausse.

           1. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a₁₀ et b₁₀ .

               REPONSE :       NON

                    a prend la valeur 0,8 a + 0,3 b est faux.

                   Il faudrait mettre:   

                     a prend la valeur 0,3 a + 0,8 b

            En effet d'après le graphe probabilite donné la matrice de transition est :

               Soit  P_n = (   a_n     b_n )   l'état après n secondes. ( ATTENTION: P_n est une matrice ligne )  

              et       P_{n + 1} = (   a_{n + 1}     b_{n + 1} )  

           On a donc:         P_{n + 1} =   P_n M     ( ATTENTION:  P_n est à gauche de M )

                     c-à-d              

             Ainsi :     a doit prendre la valeur 0,3 a + 0,8 b   dans l'algorithme.

                          Ce qui n'est pas le cas.

         2. Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans

               l'état A que d'être dans l'état B.

             REPONSE:     Il faut regarder si a₄ = b₄   = 0,5

              sans tenir compte de l'algorithme proposé puisqu'il est faux

          On sait :

             ( a₄   b₄  )  = ( a₀     b₀   )  M⁴  

            Ici    a₀   = 0      b₀  = 1

            On a : 

             Conclusion: OUI. 

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