INFO Test n ° 2 Mardi 18 octobre 2016

            INFO      TEST n° 2                         TS  spé maths  Mardi 18 octobre 2016

                      EXERCICE                          5 points
                     Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
 

           On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.
           Pour tout entier naturel n, on note j_n le nombre d’animaux jeunes après n années
           d’observation et a_n le nombre d’animaux adultes après n années d’observation.
           Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux
           adultes.
           Ainsi  j₀ = 200 et a₀ = 500.
          On admet que pour tout entier naturel n on a :
                    j_{n + 1} =  0,125  j_n +  0,525 a_n
                    a_{n + 1} =  0,625  j_n +  0,625 a_n
            On introduit les matrices suivantes :
           
                 pour tout entier naturel n.
         1. a. Montrer que pour tout entier naturel n,   U_n+1 = A × U_n.
               REPONSE :

                    Pour tout entier naturel n on  a: 

                      j_{n + 1} =  0,125  j_n +  0,525 a_n
                    a_{n + 1} =  0,625  j_n +  0,625 a_n

          c-à-d

             Ce qui se traduit par : 

          Conclusion :    U_{n + 1}  = A × U_n   pour tout entier naturel n.

               b. Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an
                 d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité
                  près par défaut).

                    REPONSE:

                      On a :   j₀ = 200   et  a₀  = 500

                   Donc :

                      c-à-d

                     Mais :     U₁ = A ×  U₀  

                              et         U₂ = A × U₁  
                    Ainsi  avec la calculatrice:

                      c-à-d         j₁ ≈ 287   et     a₁  ≈  437

                   Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes.

                     De plus avec la calculatrice :

                          c-à-d      j ₂    ≈  265      et       a₂   ≈   453

                    Au bout de 2 ans il y aura 265 jeunes et 453 adultes. 

              c. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U_n en fonction de Aⁿ  
                  et de U₀ .

                 REPONSE:

                    On conjecture que U_n = A ⁿ ×  U₀  
                    pour tout entier naturel n  non nul.

                  Montrons le par récurrence sur IN*.

                  • n = 1

                   On sait que   U₁ = A ×  U₀  

                 c-à-d      U₁ = A ¹ × U₀

                L'égalité est vraie pour n = 1

                 • Soit n dans IN* quelconque.

                     Montrons que si   U_n = A ⁿ × U₀       alors   U_{n + 1} = A^{n + 1}  × U₀

                    Considérons  U_n = A ⁿ × U₀  

                 alors     A  ×  U_n =   A  ×  A ⁿ × U₀  

                  c-à-d     A  ×  U_n =   A^{n + 1}  × U₀

                   Mais on a vu que    U_{n + 1} = A × U_n

                    D'où    U_{n + 1} = A^{n + 1}  × U₀

        Conclusion : Le résultat est prouvé sur IN*

              2. On introduit les matrices suivantes :

               
               a. On admet que la matrice Q est inversible et que              
                    
                     Montrer que Q × D × Q^{− 1}= A .

                  REPONSE:

                        On a  de proche en proche:       

                Conclusion:   On a bien             (Q × D)×Q ⁻¹ =  A
               b. Montrer par récurrence sur IN* que pour tout entier naturel n non nul :
                                  Aⁿ  = Q × Dⁿ × Q ^{− 1}
                 • n = 1

                     On a:       Aⁿ  =   A¹  = A

                                     Q × Dⁿ × Q ^{− 1}  = Q × D¹ × Q ^{− 1}   = A

                   l'égalité est vraie pour n = 1

                • Soit n dans IN* quelconque.

                   Montrons que si     Aⁿ  = Q × Dⁿ × Q ^{− 1}    alors   A^{n + 1}  = Q × D^{n + 1} × Q ^{− 1}

                 Considérons:              Aⁿ  =  Q × Dⁿ × Q ^{− 1}  

                 On sait aussi  que :    A  = Q × D × Q ^{− 1} 

                En multipliant membre à  membre dans le même ordre on obtient:

                            A ×  Aⁿ  =   Q × D × Q ^{− 1} ×  Q × Dⁿ × Q ^{− 1}    

                   c-à-d     A^{n + 1}   =   Q × D ×  I   × Dⁿ × Q ^{− 1}    

                     c-à-d     A^{n + 1}   =   Q × D × Dⁿ × Q ^{− 1}    

                    c-à-d     A^{n + 1}   =   Q × D^{n + 1} × Q ^{− 1}    

                  Conclusion: Le résultat est avéré.

           c. Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dⁿ  en fonction de n.

                 REPONSE :

                 La matrice D est diagonale et n dans IN* ..

                Donc :

                         
           3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,
     

                           
                a. En déduire les expressions de j_n et a_n en fonction de n et déterminer les
                     limites de ces deux suites.

                  REPONSE :     

                      On a  :   U_n = Aⁿ  ×  U₀       

                Donc:

                    Mais:

                   D'où:

                     Ainsi:

                    Conclusion:

                             j_n =  270 − 70  ( − 0,25 )ⁿ

                            a_n =  450 + 50 (  − 0,25 )ⁿ

                          avec n dans IN*

               Passons à la limite:

                 Comme    − 1 < − 0,25  < 1

                   on a:      lim ( − 0,25)ⁿ  ) = 0

                                     n → + ∞
                  Ainsi :

                                      lim (  270  −  70 ×   (0,25)ⁿ )  = 270  −   0 =  270

                                     n → + ∞    
                       c-à-d                 lim j_n = 270

                                                n → + ∞
                  De plus :

                                  lim (  450  +  50 ×   (0,25)ⁿ )  = 450  +   0 =  450

                                     n → + ∞

                     c-à-d                lim a_n = 450

                                               n → + ∞
                b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?  

                     REPONSE:              

                Conclusion :

       Le nombre d’animaux jeunes va tendre vers 270 et celui des animaux adultes

           va tendre vers 450.              

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