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        EXERCICE 4                  Spé math            9 février 2016

                        Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

    1. Soit a un entier relatif.

       a. Établir que:   5  | a    ⇒  5 | 11a.

                  Si  5 divise a alors il existe un entier relatif k tel que  a = 5 k

                  Dès lors   11 a = 11 x 5 k = 5 x ( 11 k )

                 Posons:    k ' = 11 k

                  k ' est un entier relatif.

              Ainsi   il existe un entier relatif k '  tel que  11 a = 5 x k ' 

                c-à-d     5  divise  11 a aussi.

             Conclusion:      5  | a    ⇒  5 |  11a

       b. Montrer que :  11a ≡ 0 [ 5 ]    ⇒   45 a – a  ≡ 0 [ 5 ]

             Soit                11 a  ≡  0 [ 5 ]

              Alors:            4 x 11 a   ≡ 4 x 0   [ 5 ]

              c-à-d              44 a   ≡  0   [ 5 ]

              c-à-d              45 a − a  ≡  0   [ 5 ]

             Conclusion : L'implication est vraie.             

           En déduire que  5 | 11a   ⇒   5 |  a.  Quelle équivalence peut-on dire?

              On vient de voir que   si  11 a  ≡  0 [ 5 ]   alors  45 a − a  ≡  0   [ 5 ]

              Mais  45 a − a  ≡  0   [ 5 ]   s'écrit      − a  ≡  0   [ 5 ]           45 a   étant un multiple de 5

             c-à-d             a   ≡  0   [ 5 ]          en multipliant par − 1

            On a montré  ainsi que:   11 a  ≡  0 [ 5 ]    ⇒     a   ≡  0   [ 5 ]  

            Conclusion :     5  | 11a     ⇒   5| a.

             Finalement  :    5 | 11a ⇔  5 |  a 

     c. Soit x et y deux entiers relatifs tels que  11 ( 4 – x ) = 5 ( 6 – y )

          Justifier qu'il existe un entier relatif k tel que x = 4 – 5 k

           On a :          11 ( 4 − x ) = 5 ( 6 − y )

                     5 divise 5 ( 6 − y )

                Donc 5 divise  11 ( 4 − x )

             Ce qui d'après ce que l'on vient de voir entraîne 5  |  ( 4 − x )

            c-à-d    il existe un entier relatif k tel que   4 − x = 5 k

          c-à-d    il existe un entier relatif k tel que   x = 4 −  5 k

              Conclusion : On a bien le résultat.

   2. On note ( E ) l'équation 11 x − 5 y = 14

          où x et y sont des entiers relatifs.

         a. Vérifier que le couple  ( x , y ) = ( 4 , 6 ) est une solution de ( E ).

                   On a:    11 x 4 − 5 x 6 = 44− 30 = 14

                       c-à-d     11 x 4 − 5 x 6 = 14

             Conclusion: le couple  ( x , y ) = ( 4 , 6 ) est une solution de ( E ).

         b. Vérifier que pour tout entier relatif k,  le couple (x , y ) = ( 4 – 5 k , 6 – 11 k )

               est solution de ( E ).

               En effet:      11 x ( 4 – 5 k ) − 5 x (6 – 11 k )  = 44 − 55 k − 30 + 55 k = 14

              c-à-d            11 x ( 4 – 5 k ) − 5 x (6 – 11 k )  = 14

            Conclusion :     pour tout entier relatif k,  le couple (x , y ) = ( 4 – 5 k , 6 – 11 k )  

             est solution de ( E ).

    3.a. Justifier que :   ( E ) équivaut à

                   On a :         11 x 4 − 5 x 6 = 14   qui revient à l'évidence 14 = 14  que

                                                                            l'on peut ajouter où l'on veut

            et             11 x  − 5 y = 14    ⇔   11 x  − 5 y = 14     qui est une "lapalissade"

           Donc      11 x  − 5 y = 14    ⇔  (    11 x  − 5 y = 14   et    11 x 4 −  5 x 6 = 14  )

             Conclusion:  On a bien l'équivalence

          b. Peut-on dire que  ( E ) équivaut à ?

                Il suffit de remplacer dans l'équivalence précédente de la question3.a l'égalité   11 x 4 −  5 x 6 = 14   par

                la différence membre à membre de deux égalités  11 x  − 5 y = 14  et  11 x 4 −  5 x 6 = 14

                     Conclusion:  On a l'équivalence

     4. a. Justifier que ( E ) implique qu'il existe un entier relatif k tel que 

                     x = 4 – 5 k   et    y = 6 – 11 k

             On a vu que ( E )  implique  11 ( 4 − x ) = 5 ( 6 − y ) 

             Et  que cela  entraînait  qu'il existe un entier relatif k tel que  x = 4 −  5 k

           Mais  alors   11 ( 4 − x ) = 5 ( 6 − y )   s'écrit     11 x 5 k =  5 ( 6 −​ y )

                 c-à-d      11 k = 6 −​ y    c-à-d      y = 6 − 11 k

                 Conclusion :  ( E ) implique qu'il existe un entier relatif k tel que

                 x = 4 – 5 k   et    y = 6 – 11 k

        b. A l'aide des questions 4.a et 2.b donner tous les couples ( x , y ) d'entiers relatifs

              qui sont solutions de ( E ).

              A l'aide de ces deux questions4.a et 2.b  on peut dire que : le couple d'entiers relatifs 

           ( x , y ) est solution de ( E ) si et seulement si   il existe un entier relatif k  tel que 

                 x  = 4 − 5 k    et   y = 6 − 11 k

             Conclusion : les couples ( x , y ) d'entiers relatifs solutions de ( E ) sont  

               ceux de la forme (  4 – 5 k  ;   6 – 11 k  )  

                  où k décrit l'ensemble des entiers relatifs.

    5. a. Démontrer que : Pour tout entier naturel n on a

                2³  = 8 = 1 + 7

            Donc       2³    ≡  1  [ 7 ]

        D'où  pour tout entier naturel n:

                  On a :                     (   2³   )ⁿ  ≡  1ⁿ  [ 7 ]

               c-à-d               2^{3 n}  ≡  1  [ 7 ]

              Conclusion : Le résultat est avéré sur IN   

          b. Déterminer le reste de la division euclidienne 2011 ²⁰¹²  par 7.

               On a:          2011 = 287 x 7 + 2        avec  0 ≤  2 < 7

              Donc                 2011 ≡  2   [ 7 ]

               Mais:               2012 = 3  x 670 + 2    

              Ainsi                  2011 ²⁰¹²  =  2011 ^{3  x 670 + 2}

            Or            2011 ≡  2   [ 7 ]  implique      2011^{3 x 670}   ≡  2^{3 x 670}   [ 7 ]

             et                        2^{3 x 670}     ≡  1  [ 7 ]        n = 670   d'après la question précédente

                 D'où           2011^{3 x 670}  ≡  1  [ 7 ]      puis       2011^{3 x 670 + 2}  ≡  1 x   2011²  [ 7 ]  

         Mais                    2011 ≡  2   [ 7 ]     Donc     2011² ≡  2²   [ 7 ]

          Donc :                     2011^{3 x 670 + 2}  ≡  2²   [ 7 ]  

          c-à-d      2011 ²⁰¹²     ≡  4   [ 7 ]     avec     0 ≤  4 < 7

          Conclusion: Le reste cherché est 4

     6. Soit a et b deux nombres réels.

           Soit les matrices :

        a. Montrer que :

                        M² − ( a + b ) M = ( 1 − a − b ) I

           On a:   

             Par somme:

           Conclusion: On a bien    M² − ( a + b ) M = ( 1 − a − b ) I

       b. En déduire les matrices M telles que  M² = M

             M² = M   se traduit par:    M − ( a + b ) M = ( 1 − a− b ) I

                                             c-à-d     ( 1 − a− b ) M = ( 1 − a − b ) I

                                             c-à-d     ( 1 − a− b ) = 0   ou     M = I

                                             c-à-d        1 =  a + b    ou M = I

        •   b = 1 − a  

        Donc aussi  1 − b = a .

        Il vient:

        avec a dans IR

     •  M = I  

     c. On considère l'algorithme suivant où Ent( A / N ) désigne  la partie 

           entière de     A / N.

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           A et N sont des entiers naturels

           Saisir A

           N prend la valeur 1

          Tant que:    N ≤ √A

                                Si A / N – Ent( A / N ) = 0 alors Afficher N et A / N

                                Fin de si

           N prend la valeur N + 1

           Fin de tant que.

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        ♦   Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

           On obtient:

           N =  1     avec       A / N = 12

           N =   2     avec       A/ N =  6

            N =  3    avec         A / N = 4

         1; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12   sont les diviseurs de A = 12

    ♦  Que donne cet algorithme dans le cas général ?

            On obtient  tous les diviseurs de A 

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