INFO EX1 DV spé maths sept 2016

           INFO EX  SUR LES MATRICES                  TS  spé maths   2016

   EX 1

    Soit les matrices :

                  Matrices

   1. Vérifier que P et Q sont inverses l'une de l'autre.

              On a :    P × Q = Q × P = I

          En effet:

       Matrice 2

              Conclusion : Le résultat est avéré.

  2.Vérifier que P×D×Q = A.

           En effet :

    Matrice3

               Conclusion: Le résultat est avéré.

      3.Donner les coefficients de Dn   avec n ≥ 1. 

           D est une matrice diagonale. D sera obtenue en mettant l'exposant n

            aux termes de sa diagonale principale.

          On peut conjecturer que pour tout n dans IN*:

                     Matrice4

           ( Ce résultat est également vrai pour n = 0 car D0  = I  et 40  = 1  et  ( − 1 )0 = 1  )

                  Démontrer ce résultat par récurrence sur IN*:

                    • n= 1

                         On a :      

                           Matrice8

                         La formule est vraie pour n = 1

                        • Soit n dans IN* quelconque.

                            Montrons que si l'égalité est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1.

                        On considère  :  

                                Matrice6

                        Donc:

                                Matrice7 1

              4. Démontrer par récurrence sur IN* que :

                     An= P Dn Q

               • n = 1

                    On a vu:     A = P × D × Q 

                   c-à-d   A1 = P × D1 × Q 

                    La formule est vraie pour n = 1

               • Soit n dans IN*.

                   Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+ 1.

                 On considère :      An = P × Dn × Q 

                 Alors:                           A ×An = A × P × Dn × Q 

                 Mais on a vu que              A = P × D × Q   et   A×An = An + 1

               Donc :            An + 1  = ( P × D × Q ) × P × Dn × Q 

                 c-à-d           An + 1  =    P × D ×(  Q ×  P  )× Dn × Q

                    Or                  Q  × P  = I

              D'où                    An + 1  =    P × D × I × Dn × Q

               c-à-d                 An + 1  =    P × D × Dn × Q

              c-à-d                An + 1  =    P ×  Dn + 1 × Q

               Conclusion: La formule est prouvée sur IN*

             En déduire pour tout n dans IN* on a l'égalité :

                 Matrice9

               On a :   An = P × Dn × Q 

              c-à-d

            Matrice 10

            Conclusion:   L'égalité demandée est établie sur IN*

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