TEST d'arithmétique TS spé. math. 31 janvier 2017
EXERCICE 1
Un jeu classique consiste à coder des messages.
Pour cela, on utilise la correspondance entre les lettres de l'alphabet et
un nombre entier compris entre 0 et 25.
Le tableau ci-dessous donne cette corespondance:
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Le codage ( affine ) consiste à choisir une clé ( a ; b ) formée de deux nombres
entiers a et b compris entre 0 et 25 et à remplacer une lettre par une
autre selon le principe suivant:
- On lit sur le tableau le nombre x correspondant à la lettre.
- On calcule le reste r de la division de a x + b par 26.
( c-à-d r ≡ a x + b [ 26 ] avec 0 ≤ r < 26 )
- On lit sur le tableau la lettre correspondant au nombre r .
qui est donc la lettre codée.
Par exemple: avec la clé ( a ; b ) = ( 7 ; 12 ), pour coder la lettre T,
on calcule 7 × 19 + 12 = 145 , puis le reste de la division
euclidienne de 145 par 26, soit 15. La lettre codée est ainsi P.
1. Coder les lettres A,K,W avec la clé ( 5 ; 17 ).
2. Que se passe-t-il si l'on prend a = 0 et b = 17 ?
3. On considère un entier x compris entre 0 et 25.
a. Donner, sans justification, les restes obtenus dans la division euclidienne
de 13 x + 6 par 26 pour x compris entre 0 et 25.
b. Coder le mot PREMIER avec la clé ( 13 ; 6 ).
Commenter le résultat obtenu.
4. Un codage est dit acceptable lorsque deux lettres distinctes quelconques
sont toujours codées différemment .
On admet que les clés ( a , b ) donnant un codage acceptable sont celles
pour lesquelles a est un entier premier avec 26, quelque soit
l'entier b compris entre 0 et 25.
a.Donner la liste des nombres entiers compris entre 0 et 25 et premiers avec 26.
b. Déterminer le nombre de clés donnant un codage acceptable.
5. Le mot ABSURDE a été codé à l'aide d'une clé ( a , b ) selon le principe décrit ci-dessus et
décrit ci-dessus et l'on a obtenu VOZLGAT.
Déterminer cette clé.
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