SPE TES

EXERCICE
Parmi les ordinateurs d’un parc informatique d'une grande entreprise, certains sont
victimes d'attaques informatiques. Aﬁn de pallier ce problème, on demande à
un technicien d’intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.
On estime que chaque jour, il remet en état 7 % des ordinateurs défaillants,
  tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3 % des ordinateurs sains.
On suppose de plus que le nombre d’ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel n, on note a_n la proportion d'ordinateurs " sains" de ce parc
informatique au bout de n jours d’intervention, et b_n la proportion d’ordinateurs
"défaillants" au bout de n jours. On admet que : a₀ = 0,4 et b₀ = 0,6.

Pour tout entier naturel n, pour un ordinateur pris au hasard on note A_nl'événement

au bout de n jours il est sain et B_nl'événement au bout de n jours il est défaillant.
PARTIE A
1.a. Décrire la situation précédente à l’aide d’un graphe probabiliste.

avec deux sommets A et B .

REPONSE:

Soit A l’état : « être sain » et B l’état « être non sain » :

Dema1

3% des "Sains" deviennent " non Sains"

7% de " non Sains " deviennent "Sains"

Ainsi : 0,97 = 100 − 0,03 et 0,93 = 100 − 0,07

b. Donner la matrice de transition T de ce graphe probabiliste.

REPONSE:

C'est :

Dema3

c. Reproduire et compléter l'arbre suivant:

Dema7 1

REPONSE:

Dema8

2. Déterminer a₁ et b₁ .

REPONSE:

a₁ est la proportion d'ordinateurs "sains" au bout de 1 jour.

b₁ est la proportion d'ordinateurs "non sains" au bout de 1 jour.

On a d'après l'énoncé:

a₁ = 0,97 a₀ + 0,07 b₀
b₁ = 0,03 a₀ + 0,93 b₀

c-à-d

a₁ = = 0,97 × 0,4 + 0,07 × 0, 6 = 0,43

b₁ = 0,03 × 0,4 + 0,93 × 0,6 = 0,57

Donc :

Conclusion: a₁ = 0,43

b₁ = 0,57
3.Pour tout entier naturel n, exprimer a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n.

D’après l'énoncé, toujours , on peut généraliser pour tout entier naturel n:
a_n+1 = 0,97 a_n + 0,07 b_n
b_n+1= 0,03 a_n + 0,93 b_n
4. Soit la matrice

Dema2

a. Justiﬁer que pour tout entier naturel n, X_n+1 = M X_n.

REPONSE:

Pour tout entier naturel n , la traduction matricielle du système

a_{n + 1} = 0,97 a_n + 0,07 b_n

b_{n + 1} = 0,03 a_n + 0,93 b_n

se traduit par l'égalité matricielle:

Soir3

c-à-d X_n+1 = M X_n

Conclusion: L'égalité est vraie pour tout entier naturel n.

b. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, X_n = MⁿX₀.

REPONSE:
• n = 0
Mⁿ = M⁰= I₂ la matrice identité d’ordre 2.
M⁰× X₀ = I₂ × X₀= X₀

Ainsi : X₀ = M⁰× X₀

Donc l'égalité est vraie pour n = 0.
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si l'égalité est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1 .

Considérons : X_n = Mⁿ X₀

Alors M × X_n = M × Mⁿ X₀

c-à-d M × X_n = M^{n + 1} X₀

Or X_{n+ 1} = M × X_n
D'où

X_{n+ 1} = M^{n + 1} X₀

Donc l'égalité est bien déduite rang n + 1.
• Conclusion:
On a donc démontré par récurrence sur IN que, pour tout entier naturel n, X_n = MⁿX₀.
c. Calculer, à l’aide de la calculatrice, X₃₀. En donner une interprétation
concrète (les coefﬁcients seront arrondis au millième).

REPONSE :
On a : X₃₀ = M³⁰ X₀

Avec la calculatrice a ₃₀≈ 0,687 ( arrondis au millième)
b₃₀≈ 0,313 (arrondis au millième)

Conclusion: Au bout de 30 jours, il y a 68,7% d’appareils sains, et 31,3% d’appareils

défectueux.
PARTIE B
1. On pose:

Dema4
a.Justifier que, pour tout entier naturel n, a_n+1 + b_n+1 = 1 .
REPONSE:

Au bout de n+1 jours, un appareil est soit sain soit défectueux ;
la proportion d’appareils sains est a_n+1 et la proportion d’appareil défectueux
est b_n+1 .

Donc :

Conclusion : a_n+1 + b_n+1 = 1 pour tout entier naturel n.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, X_{n + 1} = D × X_n + R

REPONSE:

Soit n un entier naturel quelconque:

On sait que   a_n+1 = 0,97 a_n + 0,07 b_n
b_n+1= 0,03 a_n + 0,93 b_n
Or   a_n + b_n = 1
   Donc
a_n+1 = 0,97 a_n + 0,07 ( 1− a_n )
b_n+1 = 0,03 ( 1− b_n ) + 0,93 b_n
c-à-d
  a_n+1= 0,9 a_n + 0,07
b_n+1 = 0,9 b_n + 0,03
Ce système se traduit par:

X_{n + 1}= D × X_n+ R pour tout entier naturel n
Conclusion: Le résultat est avéré

2. On pose, pour tout entier naturel n, Y_n = X_n − 10 R .
a. Montrer que, pour tout entier naturel n , Y_n+1 = D × Y_n .
REPONSE:

Soit n un entier naturel quelconque.

  On a :   Y_n+1 = X_n+1− 10 R
Mais : X_n+1= D × X_n+ R
Donc Y_n+1 = D × X_n+ R  − 10 R = D × X_n− 9 R
Or    X_n = Y_n + 10 R
D'où:   Y_n+1 = D × ( Y_n + 10 R ) − 9 R

c-à-d Y_n+1 = D ×Y_n + 10 D × R − 9 R

Or 10 D × R − 9 R = 10 × 0,9 I₂× R − 9 R = 9 R − 9 R = O

Donc : Y_n+1 = D ×Y_npour tout entier naturel n.

Conclusion : L'égalité est avérée sur IN.

b. On admet que, pour tout entier naturel n, Y_n = DⁿY₀.
En déduire que pour tout entier naturel n, X_n = Dⁿ ( X₀− 10 R ) + 10 R
REPONSE:
On a : Y₀= X₀ − 10 R et X_n= Y_n + 10 R

Comme Y_n = DⁿY₀ il vient X_n= DⁿY₀ + 10 R

Puis X_n= Dⁿ( X₀ − 10 R ) + 10 R

Conclusion : On a bien l'égalité

c. Donner l'expression de Dⁿ puis en déduire a _n et b_n

en fonction de n.

REPONSE :

On a comme D est une matrice diagonale:

Dema6

Traduisons: X_n= Dⁿ( X₀ − 10 R ) + 10 R

Ona :

Dema5
Donc:
Conclusion : a_n = − 0,3 × 0,9ⁿ+ 0,7 et b_n = 0,3 × 0,9ⁿ+ 0,3
3.Selon cette étude , que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs
défaillants sur le long terme?

REPONSE:

La proportion d’ordinateurs défaillants au bout de n jours est b_n .

On a : b_n =   0,3 × 0,9ⁿ+ 0,3
Cherchons : lim b_n
n→ + ∞

Comme − 1 < 0,9 < 1 on a lim 0,9ⁿ= 0
n→ + ∞
On déduit que: lim b_n = lim ( 0,3 × 0,9ⁿ+ 0,3 ) = 0,3.
n→ + ∞ n→ + ∞
Conclusion : Sur le long terme, on peut dire que la proportion
d’ordinateurs défaillants va tendre vers 30 %.
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