TEST n° 2 mardi 18 octobre 2016

                      TEST n° 2                         TS  spé maths  Mardi 18 octobre 2016

                      EXERCICE                          5 points
                     Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
 

           On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.
           Pour tout entier naturel n, on note jn le nombre d’animaux jeunes après n années
           d’observation et an le nombre d’animaux adultes après n années d’observation.
           Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux
           adultes.
           Ainsi  j0 = 200 et a0 = 500.
          On admet que pour tout entier naturel n on a :
                    jn + 1 =  0,125  jn +  0,525 an
                    an + 1 =  0,625  jn +  0,625 an
            On introduit les matrices suivantes :
           Nat1
                et, pour tout entier naturel n.
         1. a. Montrer que pour tout entier naturel n,   Un+1 = A × Un.
             b. Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an
                 d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité
                  près par défaut).
              c. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Un en fonction de An
                  et de U0 .
          2. On introduit les matrices suivantes :

                Nat2
               a. On admet que la matrice Q est inversible et que              
                    Nat4
                     Montrer que Q × D × Q− 1= A.
               b. Montrer par récurrence sur IN* que pour tout entier naturel n non nul :
                                  An  = Q × Dn × Q − 1
                c. Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dn  en fonction de n.
           3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,
     

                            Nat5
                a. En déduire les expressions de jn et an en fonction de n et déterminer les
                     limites de ces deux suites.
                b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?  

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