TEST n° 3 Spé maths TS

                                            TEST  n ° 3              TS   Spé maths      24 nov. 2015

     EXERCICE :       5 Points 

                                   Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

               Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses

               abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir  de 2013.

                En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

                Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de

               A la n -ième année après 2013, et bn le nombre d'abonnés, en milliers, de B la n-ième année après 2013.

                Ainsi         a0 = 300     et        b0 = 300  .

                Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser

                la situation par la relation, pour tout entier naturel n:          

              an + 1 = 0,7 an +  0, 2 bn + 60

              bn + 1 = 0,1 an +  0, 6 bn + 70

             On considère les matrices :

                                  Quai36 1

                Pour tout entier naturel  n on  note :

                                       Orf 1

                1. a .Déterminer U1 .

                    b. Vérifier que, pour tout entier naturel n , Un + 1 = M x Un + P.

               2. On note :

                     Amps

            a. Calculer :

                        Des   

            b. En déduire que la matrice I − M est inversible et préciser son inverse.

            c. En déduire  la matrice U  telle que U = M x U + P.      

     3. Pour tout entier naturel n, on pose Vn = Un − U .

       a. Justifier que pour tout entier naturel , V n + 1 = M x Vn .

      b. En déduire que , pour tout entier naturel n, Vn = Mn x V0.

       4. On admet que ,pour tout entier naturel n:

                      Cean

        a. Pour tout entier  naturel n, exprimer Un   en fonction de n et en déduire la limite de la suite ( an ).

       b. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.

       

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