INFO TEST TS spé math du 21 mars 2017

       INFO     TEST du 21 mars 2017                        TS  spé maths.

          EXERCICE 1 

           Partie A

              On se propose, dans cette partie A, de déterminer tous les entiers

             relatifs n qui vérifient  le système noté ( I ) :

                       n  ≡   5 [ 13 ]

                        n   ≡   1 [ 17 ]

              en montrant progressivement que ce système ( I ) équivaut à n ≡ 18  [ 221 ]  

             Le schéma de démonstration de cette équivalence est :

             (  n  ≡   5 [ 13 ]  et  n  ≡   1 [ 17 ]  ) ⇒  n  ≡ 18 [ 221 ]

               Puis    n  ≡ 18 [ 221 ]   ⇒ (  n  ≡ 18 [ 13 ]   et  n  ≡ 18 [ 17 ]  )

              (  n  ≡ 18 [ 13 ]   et  n  ≡ 18 [ 17 ]  )  ⇒  (  n  ≡   5 [ 13 ]  et  n  ≡   1 [ 17 ]  )

          1. Vérifier que l'entier  239 est solution de ce système ( I ).

                REPONSE:

               •  On a:    239 = 18 × 13 + 5

                     D'où:     239  ≡   5 [ 13 ]

                •  On a:    239 = 14   × 17 + 1

                         D'où:     239  ≡   1 [ 17 ]

                 Conclusion:   239 vérifie bien le système.

            2. Soit n un entier relatif solution du système ( I ).

                   Démontrer que n peut s'écrire sous les formes

                        n = 1 + 17 x      n = 5 + 13 y    

                 où  x et y sont des entiers relatifs tels que  17 x − 13 y = 4

                 REPONSE:

                Soit n un entier relatif solution du système ( I ).

                  •  On a :    n  ≡   5 [ 13 ]

                       Donc :  ∃ y ∈Z  /    n = 5 + 13 y

                   •  On a :     n  ≡   1 [ 17 ]

                       Donc          ∃ x ∈ Z  /     n = 1 + 17 x  

                     Or  par différence :       n = 1 + 17 x

                                                          n = 5 + 13 y

                                                            ------------------           

                  donne:                        0 = − 4 + 17 x − 13 y 

                     c-à-d                        17 x − 13 y  = 4

            Conclusion :

             Si l'entier relatif n vérifie le système alors :

               Il existe deux entiers relatif x et y tels que 

               n = 1 + 17 x  

                n = 5 + 13 y

                17 x − 13 y  = 4

             3. Avec l'algorithme d'Euclide trouver  le PGCD de 17 et 13 .

                REPONSE :

                 Algorithme d'Euclide:                 

                     17 = 13 × 1 + 4

                      13 = 4 × 3 + 1 

                 Ainsi:  Le dernier reste non nul est 1.

                    Conclusion :   PGCD( 17 , 13 ) = 1

            4. Vérifier que le couple ( 1 ; 1 ) est une solution

                particulière de l'équation 17 x − 13 y  = 4.

             REPONSE:

             On a :           17 × 1 − 13 ×  1  = 17  − 13 = 4

            Donc:

             Conclusion:

              ( 1 ; 1 ) est un couple solution particulière de l'équation 17 x − 13 y  = 4.

         5. Montrer que  17 x − 13 y  = 4  équivaut à  17( x − 1 ) − 13 ( y −  1 )   = 0

           où x et y sont deux entiers relatifs.

            REPONSE:        17 x − 13 y  = 4    

          s'écrit aussi:     17 x − 13 y  = 4      et     17 × 1 − 13 ×  1  = 4

                 c-à-d       17 x  − 17 × 1 −  13 y  − ( − 13 ×  1 )  = 4  − 4             par différence :      

                 c-à-d            17( x − 1 ) − 13 ( y −  1 )   = 0

              Conclusion: On a bien l'équivalence.

           6. Résoudre dans Z²  l'équation  17 x − 13 y  = 4 .

              REPONSE:   Soit x et y deux entiers relatifs.

            Considérons :      17 x − 13 y  = 4

           c-à-d      17( x − 1 ) − 13 ( y −  1 )   = 0

           c-à-d     17( x − 1 ) = 13 ( y −  1 )  

            c-à-d    17( x − 1 ) = 13 ( y −  1 )    et 17 |  13 ( y −  1 )   PGCD( 17 , 13 ) =1

           c-à-d     17( x − 1 ) = 13 ( y −  1 )    et   17 |   ( y −  1 )             d'après le Th de Gauss

          c-à-d       17( x − 1 ) = 13 ( y −  1 )   et    ∃ k ∈ Z  /    y −  1 = 17 k

         c-à-d        ∃ k ∈ Z  /   y = 1 + 17 k     et  17( x − 1 ) = 13 × 17 k

          c-à-d        ∃ k ∈ Z  /   y = 1 + 17 k     et  x − 1 =  13 k

           c-à-d        ∃ k ∈ Z  /   y = 1 + 17 k     et  x =  1 +  13 k

        Conclusion:

                S = { (   1 +  13 k ;   1 + 17 k   )   /     k ∈ Z  }

       7.   Soit n un entier relatif solution du système ( I ).

            En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que n = 18 + 221 k

        REPONSE:

            Soit n un entier relatif qui vérifie le système ( I )

          On a   qu'alors :

           ∃ y ∈Z  /    n = 5 + 13 y    et  ∃ x ∈ Z  /     n = 1 + 17 x  

         et      17 x − 13 y  = 4

        Mais    17 x − 13 y  = 4   se traduit par  ∃ k ∈ Z  /   y = 1 + 17 k     et   x =  1 +  13 k

        Donc :        ∃ k ∈ Z  /   n = 1+ 17 ( 1 + 13 k )

        c-à-d       ∃ k ∈ Z  /   n = 1 + 17  + 17 × 13 k 

      c-à-d        ∃ k ∈ Z  /   n = 18 + 221 k 

      Conclusion : La déduction est avérée

          8.  Soit n un entier relatif. 

           a.    Etablir que :  n vérifie le système ( I )  si et seulement si   n ≡ 18 [ 221 ]

        REPONSE:

      •   ⇒   Cette implication vient d'être montrée.

      •   ⇐ Réciproque:

          Soit   n ≡ 18   [ 221 ]

           Alors     n ≡ 1 + 17   [ 17×13 ]  et   n ≡ 5 + 13   [ 17×13 ]

            Tout multiple de 17× 13  est un multiple de 17 et est un multiple de 13

           Donc:       n ≡ 1 + 17   [ 17 ]  et    n ≡ 5 + 13   [ 13 ]

          c-à-d           n ≡ 1  [ 17 ]  et    n ≡ 5    [ 13 ]

         c-à-d         n est solution de ( I )

          Conclusion : L'équivalence est avérée.

        b. En déduire la résolution du système ( I ) dans Z. 

          Donc pour résoudre le système ( I )  on considère tous

          les entiers relatifs  18 + 221 k où k décrit Z.

           Donc l'ensemble solution est :

                     S_Z = { 18 + 221 k   /  k  ∈​ Z }   

   Partie B.

     1. Montrer que:  2⁸    ≡ 1 [ 17 ]  et  5⁸  ≡ − 1 [ 17 ]

              REPONSE :

          •  On a :   2⁴  = 16 = − 1 + 17

            Donc :    2⁴  ≡  − 1 [ 17 ]

            Ainsi :   (  2⁴  )² ≡ (  − 1 )²  [ 17 ]

             c-à-d    2⁸    ≡ 1 [ 17 ]

             • On a :  5² = 25 = 17 × 1 + 8

                Donc:             5²  ≡ 2³     [ 17 ]

                  c-à-d               ( 5² )⁴ ≡  ( 2³ )⁴    [ 17 ]

                   c-à-d                5⁸  ≡  ( 2⁴ )³      [ 17 ]

                    c-à-d             5⁸  ≡   ( − 1 )³    [ 17 ]   car    2⁴  ≡  − 1 [ 17 ]

                c-à-d            5⁸  ≡  − 1      [ 17 ]     

         2.  Peut-on, à l'aide de congruences,  trouver un entier naturel p 

              tel que 10^p  ≡ 1 [ 17 ]

             REPONSE:

               10⁸  =  2⁸  × 5⁸  

           Or       2⁸  ≡   1 [ 17 ]  et    5⁸  ≡  − 1   [ 17 ]

           D'où      2⁸  × 5⁸     ≡  1 × (− 1)   [ 17 ]

           c-à-d    

                      2⁸  × 5⁸     ≡ −  1    [ 17 ]

          c-à-d        10⁸     ≡ −  1    [ 17 ]

          Ainsi :    ( 10⁸  )²    ≡  (− 1)²    [ 17 ]

            c-à-d     10¹⁶   ≡  1  [ 17 ]

         Conclusion: p = 16 convient

     3. A-t-on  10⁴⁸   ≡ 1 [ 13 ]  ?

           REPONSE:

      •   On a  :  5²  = 25 = 26 − 1 = 13 × 2  − 1

         donc     5²  ≡   − 1   [ 13 ] 

          Donc :  ( 5² )⁸   ≡  ( − 1)⁸   [ 13 ] 

           c-à-d    5¹⁶      ≡  1  [ 13 ] 

      Donc          (  5¹⁶    )³  ≡  1³  [ 13 ] 

        c-à-d      5⁴⁸     ≡  1  [ 13 ] 

     •  On a :       2⁸  = 256  = 13 × 19  + 9 = 13 × 20 − 4

       Donc :               2⁸    ≡   − 4  [ 13 ]

        Ainsi :     ( 2⁸  )³ ≡  ( − 4 )³ [ 13 ]

          c-à-d      2²⁴   ≡   − 64  [ 13 ]

           Mais     − 64  + 13 ×5 =  1

        Donc :      2²⁴   ≡  1  [ 13 ]

        Donc      (  2²⁴   )² ≡  1²  [ 13 ]

          c-à-d      2⁴⁸   ≡  1 [ 13 ]

           Or   5⁴⁸     ≡  1  [ 13 ] 

        Par produit on obtient :   10⁴⁸   ≡  1  [ 13 ]

                                          ----------------------------------

     EXERCICE 2

           Les nombres 2ⁿ − 1 où n est un entier naturel non nul  sont appelés ,

            nombres de Mersenne, et notés  M_n .

      1. On désigne par a,b,c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD( b ; c ) = 1.

           Prouver, à l'aide du Th. de Gauss , que:

            (   b | a   et  c | a  ) ⇒  bc | a

           REPONSE:

           Comme   b | a   et a ≠ 0       ∃ k ∈ IN*   / a = k b

           Mais   c | a     

           Ainsi   c | kb et  PGCD( b ; c ) = 1

          Donc d'après le th de Gauss   c | k

          D'où     ∃ k ' ∈ IN*   /  k = k ' c

        Alors :   ∃ k ' ∈ IN*   / a = k ' c  b

           On a bien:    bc | a

           Conclusion: L'implication est avérée.

     2. On considère le nombre de Mersenne  M₃₃ = 2³³ − 1 .

       Un élève a obtenu à la calculatrice les résultats ci-dessous:

         •   Pour         M₃₃  ÷  3                 2863311530

         •   Pour         M₃₃  ÷  4                 2147483648

         •   Pour         M₃₃  ÷  12                715827882,6

            Il affirme que 3 et 4 divisent   M₃₃    mais que 12 ne divise pas   M₃₃ .

            a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.   ?

             REPONSE:

            D'après ce résultat démontré , comme PGCD( 3 ; 4 ) = 1 , si   3 | M₃₃   et    4 | M₃₃ 

             alors  3× 4  |  M₃₃      c-à-d    12  | M₃₃  .

           Conclusion : Il y a donc une contradiction chez cet élève.

         b. Justifier , qu'en réalité, 4 ne divise pas M₃₃  .

           REPONSE:

            Raisonnons par l'absurde:

             Supposons que    4 | M₃₃   

            On  sait que  :      M₃₃ =    2³³  − 1     c-à-d      1 =  2³³   −  M₃₃ 

             On a:       4 |  2³³  

             On a supposé que    4 | M₃₃  

            Alors       4 |   2³³   −  M₃₃ 

            c-à-d     4 |  1     Ce qui est absurde

           Conclusion :   4 ne divise pas  M₃₃   

       c. En remarquant que    2  ≡ − 1  [ 3 ] , montrer , qu'en réalité , 3 ne divise pas M₃₃  .

           REPONSE:  

           On a:       2 + 1 = 3    

           Donc     2 + 1  ≡ 0  [ 3 ]

           c-à-d    2  ≡ − 1  [ 3 ]

           Ainsi    2³³  ≡  ( − 1  )³³ [ 3 ]

           c-à-d       2³³  ≡   − 1   [ 3 ]         33 étant un entier impair

           Donc         2³³  − 1 ≡   − 1 − 1    [ 3 ]  

          c-à-d            M₃₃   ≡   − 2    [ 3 ]

         c-à-d            M₃₃   ≡   1    [ 3 ]          avec 0 ≤  1 < 3

          Le reste de la division de    M₃₃   par 3 est  1  et non 0.

          Conclusion :    M₃₃    n'est pas divisible par 3

      d. Calculer la somme  S = 1 + 2³ + ( 2³ )² + ( 2³ )³ +  . ........... + ( 2³ )¹⁰       

          REPONSE: 

          S = ( 2³ )⁰ +  ( 2³ )¹  +  ( 2³ )² +  ( 2³ )³   +...........  +  ( 2³ )¹⁰

              On attend autre chose que la somme des termes à la calculatrice.

         S est la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique de raison  2³  .

           2³   ≠  1

           Donc    S =  1 ( 1 −  (  2³ )¹¹ )  / ( 1  −  (  2³ ​ ) )

           c-à-d

                  S  =( 1  −  2³³ ) /  ( −   7 )

            c-à-d  

                S = M₃₃  / 7 

                Conclusion : S = (   2³³     −   1 ) / 7

          e. En déduire que 7 divise M₃₃  .

              REPONSE:

             On a :     S =  M₃₃    /  7

          Donc     M₃₃    = 7 S  où   S est un entier naturel comme somme d'entiers naturels.

            Ainsi:       M₃₃   est un multiple de 7

           Conclusion:    M₃₃    est divisible par 7

          3. On considère le nombre de Mersenne M₇  =  2⁷ −   1  .

               Est-il premier ? Justifier.

           REPONSE:

           Utilisons le critère de primalité.

               On a :         M ₇    =  127

                            √    127 ≈  11,27

           Les nombres premiers entre 2 et 11,27 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ;11

           Regardons si l'un d'eux divise 127.

                  •   7 est impair donc 2 ne divise pas 127

                  •    1 + 2 + 7= 10      3 ne divise pas 10

                            Donc    3 ne divise pas 127

                  • 7  n'est ni 0 ni 5 .

                               Donc    5 ne divise pas 127              

                  •  127 =  7 × 18 + 1     avec  0 ≤ 1 < 7

                    Le reste de la division de 127 par 7 est non nul.

                  Donc      7 ne divise pas 127

                  •  127 = 11 × 11 + 6    avec   0 ≤ 6 < 11

                                   11 ne divise pas 127

              Conclusion :     127 est un nombre premier.

                                        M₇  est un nombre premier

            4. On donne l'algorithme suivant où Mod( N , k ) représente

                le reste de la division euclidienne de N par k.

        a . Qu'affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? n = 7 ?

            REPONSE:

             • n = 33    On a vu que  7 | M₃₃     M₃₃  n'est donc pas un nombre premier

                         L'algorithme va afficher k=7 puis afficher  " Cas 2 "

              •n= 7       On a vu que  M₇   était un nombre premier.

                            Donc l'algorithme va afficher l'entier suivant √ M₇   c-à-d 12 et 

                                affichera " Cas 1 "

        b. Que représente le " Cas 2" pour le nombre de Mersenne étudié ?

            Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

            REPONSE:

               Comme dans ce cas il existe un  entier k compris entre 2 et √ M_n  divise M_n ​

               c'est que M_n n'est pas premier.

               k est alors le plus petit entier naturel entre 2 et  √ M_n   qui divise M_n   .

     c. Que représente le " Cas 1" pour le nombre de Mersenne étudié ?

           REPONSE:

          Comme dans ce cas aucun entier k compris entre 2 et √ M_n  ne divise M_n ​

          on peut dire qu'aucun nombre premier entre 2 et M_n  ne divise M_n ​.

            Donc:    M_n ​  est un nombre premier.