TEST du 21 mars 2017 TS spé maths.
EXERCICE 1
Partie A
On se propose, dans cette partie A, de déterminer tous les entiers relatifs n
qui vérifient le système noté ( I ) :
n ≡ 5 [ 13 ]
n ≡ 1 [ 17 ]
en établissant progressivement que ce système ( I ) équivaut à
n ≡ 18 [ 221 ]
1. Vérifier que l'entier 239 est solution de ce système ( I ).
2. Soit n un entier relatif solution du système ( I ).
Démontrer que n peut s'écrire sous les formes
n = 1 + 17 x n = 5 + 13 y
où x et y sont des entiers relatifs tels que 17 x − 13 y = 4
3. Avec l'algorithme d'Euclide trouver le PGCD de 17 et 13 .
4. Vérifier que le couple ( 1 ; 1 ) est une solution
particulière de l'équation 17 x − 13 y = 4.
5. Montrer que 17 x − 13 y = 4 équivaut à 17( x − 1 ) − 13 ( y − 1 ) = 0
6. Résoudre dans Z2 l'équation 17 x − 13 y = 4 .
7. Soit n un entier relatif solution du système ( I ).
En déduire qu'il existe un entier relatif k tel que n = 18 + 221 k
8. Soit n un entier relatif.
a. Etablir que : n vérifie le système ( I ) si et seulement si n ≡ 18 [ 221 ]
b. En déduire la résolution du système ( I ) dans Z..
Partie B.
1. Montrer que: 28 ≡ 1 [ 17 ] et 58 ≡ − 1 [ 17 ]
2. Peut-on, à l'aide de congruences, trouver un entier naturel p
tel que 10p ≡ 1 [ 17 ] ?
3. A-t-on 1048 ≡ 1 [ 13 ] ?
----------------------------------
EXERCICE 2
Les nombres 2n −1 où n est un entier naturel non nul sont appelés ,
nombres de Mersenne, et notés Mn .
1. On désigne par a,b,c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD( b ; c ) = 1.
Prouver, à l'aide du Th. de Gauss , que:
( b | a et c | a ) ⇒ bc | a
2. On considère le nombre de Mersenne M33 = 233 − 1 .
Un élève a obtenu à la calculatrice les résultats ci-dessous:
• Pour M33 ÷ 3 2863311530
• Pour M33 ÷ 4 2147483648
• Pour M33 ÷ 12 715827882,6
Il affirme que 3 et 4 divisent M33 mais que 12 ne divise pas M33 .
a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?
b. Justifier , qu'en réalité, 4 ne divise pas M33 .
c. En remarquant que 2 ≡ − 1 [ 3 ] , montrer , qu'en réalité , 3 ne divise pas M33 .
d. Calculer la somme S = 1 + 23 + ( 23 )2 + ( 23 )3 + . ........... + ( 23 )10
e. En déduire que 7 divise M33 .
3. On considère le nombre de Mersenne M7 = 27 − 1 .
Est-il premier ? Justifier.
4. On donne l'algorithme suivant où Mod( N , k ) représente
le reste de la division euclidienne de N par k.
|
Variables: n entier naturel supérieur ou égal à 3 k entier naturel supérieur ou égal à 2 Initialisation: Demander à l'utilisateur la valeur de n Affecter à k la valeur 2 Traitement: Tant que Mod( Mn ; k ) ≠ 0 et k ≤ √ Mn Affecter à k la valeur k + 1 Fin de Tant que Sortie : Afficher k Si k > √ Mn Afficher " Cas 1 " Sinon Afficher " Cas 2 " |
a . Qu'affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? n = 7 ?
b. Que représente le " Cas 2" pour le nombre de Mersenne étudié ?
Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
c. Que représente le " Cas 1" pour le nombre de Mersenne étudié ?
______________________