TEST TS spé maths du 16 mai 2017

                                         TEST du 16 mai 2017   Spé maths.        TS

      EXERCICE                
 

             Parmi les ordinateurs d’un parc informatique d'une grande entreprise, certains sont   
             victimes d'attaques informatiques. Afin de pallier ce problème, on demande à
             un technicien d’intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.
             On estime que chaque jour, il remet en état 7 % des ordinateurs défaillants, 
             tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3 % des ordinateurs sains. 
             On suppose de plus que le nombre d’ordinateurs est constant  sur la période étudiée.                             
             Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d'ordinateurs  " sains" de ce parc 
              informatique au bout de n jours d’intervention, et bn la proportion d’ordinateurs
              "défaillants" au bout de n jours. On admet que :  a0 = 0,4   et   b0 = 0,6.

            Pour tout entier naturel n, pour un ordinateur pris au hasard on note An  l'événement 

            au bout de n jours il est sain et Bn  l'événement au bout de n jours il est défaillant.
      PARTIE  A
         1.a. Décrire la situation précédente  à l’aide d’un graphe probabiliste.

               avec deux sommets A et B . 

            b. Donner la matrice de transition T de ce graphe probabiliste.            

            c. Reproduire et compléter  l'arbre suivant:

                  Dema7 1       

         2. Déterminer a1 et b1  .             
         3. Pour tout entier naturel n, exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.        
         4. Soit la matrice M telle que :

                         Dema2 

          a. Justifier que pour tout entier naturel n,  Xn+1 = M Xn.                           

          b. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn = Mn X0.
          c. Calculer, à l’aide de la calculatrice, X30. En donner une interprétation
             concrète (les coefficients seront arrondis au millième).           
                                       
       PARTIE  B 

         1. On pose:

                        Dema4
               a. Justifier que, pour tout entier naturel n,  an+1 + bn+1 = 1  .                            
               b. Montrer que, pour tout entier naturel n,  Xn + 1 = D × Xn  + R
          2. On pose, pour tout entier naturel n, Yn = Xn − 10 R .
               a. Montrer que,  pour tout entier naturel n , Yn+1  = D × Yn  .
               b. On admet que, pour tout entier naturel n, Yn = Dn  Y0.
                  En déduire que pour tout entier naturel n,  Xn = Dn  ( X0  − 10 R ) + 10 R
               c. Donner l'expression de Dn  puis en déduire a n  et  bn

                             en fonction de n.
          3. Selon cette étude , que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs
              défaillants  sur le long terme?

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